Найти, какое количество энергии с 1 см² поверхности в 1 секунду излучает абсолютно чёрное тело, если известно, что максимум спектральной плотности его энергетической светимости rλ приходится на длину волны 484 нм?

Question 1

Задача Задача №2547544

А

Аноним

19 декабря 2024 23:35 · публичный вопрос

А

Аноним 19 декабря 2024 23:35

Найти, какое количество энергии с 1 см² поверхности в 1 секунду излучает абсолютно чёрное тело, если известно, что максимум спектральной плотности его энергетической светимости rλ приходится на длину волны 484 нм?

Answer

Чтобы определить количество энергии, излучаемой абсолютно чёрным телом с площади 1 см² за 1 секунду, можно воспользоваться законом Планка для спектральной плотности излучения, а также уравнением Стефана-Больцмана.

Закон Планка: Он описывает распределение энергии излучения абсолютно черного тела в зависимости от длины волны. Максимум спектральной плотности rλ при длине волны 484 нм можно найти при помощи формулы:

\[ r_{\lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}} - 1} \]

Здесь:
- \( h \) — постоянная Планка (\( 6.626 \times 10^{-34} \) Дж·с),
- \( c \) — скорость света в вакууме (\( 3 \times 10^{10} \) см/с),
- \( \lambda \) — длина волны (в данном случае 484 нм или \( 484 \times 10^{-7} \) см),
- \( k \) — постоянная Больцмана (\( 1.38 \times 10^{-23} \) Дж/K),
- \( T \) — температура черного тела в Кельвинах.
Температура: Для этой длины волны можно использовать закон Винна для нахождения температуры, так как максимум излучения соответствует:

\[ \lambda_{\text{max}} T = b \]

где \( b \) — постоянная Винна (\( 2.898 \times 10^{-3} \) м·К).

Переведем длину волны в метры: \( \lambda_{\text{max}} = 484 \, \text{нм} = 484 \times 10^{-9} \, \text{м} \).

Подставив в формулу, находим температуру:

\[ T = \frac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{484 \times 10^{-9}} \approx 5990 \, \text{К} \]
Энергетическая светимость: Теперь, используя закон Стефана-Больцмана, мы можем найти полное излучение с единицы поверхности:

\[ E = \sigma T^4 \]

Где \( \sigma \) — постоянная Стефана-Больцмана (\( 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\text{К}^4) \)).

Подставляя найденное значение температуры:

\[ E = 5.67 \times 10^{-8} \times (5990)^4 \approx 1.484 \times 10^{8} \, \text{Вт/м}^2 \]

Поскольку нам нужно найти количество энергии с площади 1 см² (или \( 1 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \)), результат умножаем на эту площадь:

\[ E_{\text{см}^2} = E \times 1 \times 10^{-4} \approx 1.484 \times 10^{4} \, \text{Вт} = 14840 \, \text{Вт} \]

Таким образом, абсолютно черное тело с поверхности 1 см² излучает примерно 14840 Вт энергии за 1 секунду.

Question 2

Найти, какое количество энергии с 1 см² поверхности в 1 секунду излучает абсолютно чёрное тело, если известно, что максимум спектральной плотности его энергетической светимости rλ приходится на длину волны 484 нм?

Answer

Чтобы определить количество энергии, излучаемой абсолютно чёрным телом с площади 1 см² за 1 секунду, можно воспользоваться законом Планка для спектральной плотности излучения, а также уравнением Стефана-Больцмана. 1. **Закон Планка**: Он описывает распределение энергии излучения абсолютно черного тела в зависимости от длины волны. Максимум спектральной плотности rλ при длине волны 484 нм можно найти при помощи формулы: \[ r_{\lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}} - 1} \] Здесь: - \( h \) — постоянная Планка (\( 6.626 \times 10^{-34} \) Дж·с), - \( c \) — скорость света в вакууме (\( 3 \times 10^{10} \) см/с), - \( \lambda \) — длина волны (в данном случае 484 нм или \( 484 \times 10^{-7} \) см), - \( k \) — постоянная Больцмана (\( 1.38 \times 10^{-23} \) Дж/K), - \( T \) — температура черного тела в Кельвинах. 2. **Температура**: Для этой длины волны можно использовать закон Винна для нахождения температуры, так как максимум излучения соответствует: \[ \lambda_{\text{max}} T = b \] где \( b \) — постоянная Винна (\( 2.898 \times 10^{-3} \) м·К). Переведем длину волны в метры: \( \lambda_{\text{max}} = 484 \, \text{нм} = 484 \times 10^{-9} \, \text{м} \). Подставив в формулу, находим температуру: \[ T = \frac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{484 \times 10^{-9}} \approx 5990 \, \text{К} \] 3. **Энергетическая светимость**: Теперь, используя закон Стефана-Больцмана, мы можем найти полное излучение с единицы поверхности: \[ E = \sigma T^4 \] Где \( \sigma \) — постоянная Стефана-Больцмана (\( 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\text{К}^4) \)). Подставляя найденное значение температуры: \[ E = 5.67 \times 10^{-8} \times (5990)^4 \approx 1.484 \times 10^{8} \, \text{Вт/м}^2 \] Поскольку нам нужно найти количество энергии с площади 1 см² (или \( 1 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \)), результат умножаем на эту площадь: \[ E_{\text{см}^2} = E \times 1 \times 10^{-4} \approx 1.484 \times 10^{4} \, \text{Вт} = 14840 \, \text{Вт} \] Таким образом, абсолютно черное тело с поверхности 1 см² излучает примерно 14840 Вт энергии за 1 секунду.