Контрольная работа по теме: «Подобные треугольники» 1 вариант 1. На рисунке 15 MO || NP, OP = 20 см. PK = 8 см, MN = 15 см. Найдите отрезок NK. Рис. 15 2. Треугольники АВС и А,В,С, подобны, причём сторонам АВ и АС соответствуют стороны А,В, и А, С,, Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если АB = 12 см, АC = 18 см, А, C1 = 12 см, B, C, = 18 см. 3. Отрезок ВМ - биссектриса треугольника АВС, АВ = 30 см, АМ= 12 см, МС = 14 см. Найдите сторону ВС. 4. На стороне АВ треугольника АВС отметили точку D так, что AD : BD = 5 : 3. Через точку D провели прямую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если AC = 16 см.

Конечно! Давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1:

Условие: На рисунке 15 MO || NP, OP = 20 см. PK = 8 см, MN = 15 см. Найдите отрезок NK.

Решение: Поскольку MO и NP параллельны, мы можем использовать свойства подобных треугольников. По теореме о пропорциональных отрезках:

\[ \frac{PK}{KN} = \frac{OP}{MN} \]

Обозначим NK как x. Мы знаем:

\[ PK + KN = PN \quad \text{или} \quad 8 + x \]

Теперь найдем PN:

\[ \frac{8}{x} = \frac{20}{15} \]

Решим уравнение:

\[ 8 \cdot 15 = 20 \cdot x \implies 120 = 20x \implies x = 6 \text{ см} \]

Итак, отрезок NK = 6 см.

Задача 2:

Условие: Треугольники ABC и A'B'C' подобны, причем сторонам AB и AC соответствуют стороны A'B' и A'C', Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если AB = 12 см, AC = 18 см, A'C' = 12 см, B'C' = 18 см.

Решение: В подобии треугольников выполняется пропорциональность соответствующих сторон.

\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{12}{A'B'} = \frac{18}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{12}{A'B'} = \frac{3}{2} \]

Теперь найдем A'B':

\[ 12 \cdot 2 = 3 \cdot A'B' \implies 24 = 3A'B' \implies A'B' = 8 \text{ см} \]

Таким образом, сторона A'B' = 8 см.

Задача 3:

Условие: Отрезок BM - биссектриса треугольника ABC, AB = 30 см, AM = 12 см, MC = 14 см. Найдите сторону BC.

Решение: По свойству биссектрисы:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \quad \Rightarrow \quad \frac{30}{BC} = \frac{12}{14} \]

Запишем в виде пропорции:

\[ \frac{30}{BC} = \frac{6}{7} \]

Теперь можно решить уравнение:

\[ 30 \cdot 7 = 6 \cdot BC \implies 210 = 6BC \implies BC = 35 \text{ см} \]

Следовательно, сторона BC = 35 см.

Задача 4:

Условие: На стороне AB треугольника ABC отметили точку D так, что AD : BD = 5 : 3. Через точку D провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону BC в точке E. Найдите отрезок DE, если AC = 16 см.

Решение: Поскольку AD : BD = 5 : 3, то по свойству аналогичных треугольников, отрезок DE будет пропорционален:

\[ \frac{DE}{AC} = \frac{AD}{AB} \]

Обозначим AB как AD + BD = 5x + 3x = 8x. Тогда мы имеем:

\[ AC = 16 \text{ см} \] \[ DE = \frac{AD}{AB} \cdot AC \]

Подставим AD и AC:

\[ DE = \frac{5x}{8x} \cdot 16 = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10 \text{ см} \]

Таким образом, отрезок DE = 10 см.

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!