Y=4(x-7) ^6 arcsin 3x^5 Продифференцировать функцию

Чтобы найти производную функции \( y = 4(x - 7)^6 \cdot \arcsin(3x^5) \), мы воспользуемся правилом произведения и правилами дифференцирования.

Функция состоит из двух множителей:

1. \( u = 4(x - 7)^6 \)
2. \( v = \arcsin(3x^5) \)

Правило произведения гласит: \[ y' = u'v + uv' \]

Теперь мы найдем производные \( u' \) и \( v' \):

1. Находим \( u' \): \[ u = 4(x - 7)^6 \] Используя правило степени и цепное правило, получаем: \[ u' = 4 \cdot 6(x - 7)^5 \cdot (1) = 24(x - 7)^5 \]

2. Находим \( v' \): \[ v = \arcsin(3x^5) \] Сначала воспользуемся производной арксинуса: \[ v' = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x^5)^2}} \cdot (3 \cdot 5x^4) = \frac{15x^4}{\sqrt{1 - 9x^{10}}} \]

Теперь подставим \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной \( y' \): \[ y' = u'v + uv' = 24(x - 7)^5 \cdot \arcsin(3x^5) + 4(x - 7)^6 \cdot \frac{15x^4}{\sqrt{1 - 9x^{10}}} \]

Эту формулу можно упростить, но она уже содержит все необходимые компоненты. В итоге получаем: \[ y' = 24(x - 7)^5 \arcsin(3x^5) + \frac{60(x - 7)^6 x^4}{\sqrt{1 - 9x^{10}}} \]

Это и есть производная функции \( y \).