Найти tg. угла наклона касательной в точки хо для заданий функции y=ctg3x x0=π/3

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к графику функции \( y = \cot(3x) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{3} \), нам нужно сначала найти производную этой функции, а затем подставить значение \( x_0 \).

1. Выражение функции: \[ y = \cot(3x) \]

2. Найдём производную \( y' \): Используя правило производной для котангенса, получаем: \[ \frac{d}{dx}(\cot(u)) = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \] где \( u = 3x \) и \( \frac{du}{dx} = 3 \). Таким образом: \[ y' = -\csc^2(3x) \cdot 3 = -3 \csc^2(3x) \]

3. Теперь подставим \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) в производную: \[ y'(\frac{\pi}{3}) = -3 \csc^2(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = -3 \csc^2(\pi) \] Поскольку \( \csc(\pi) = \frac{1}{\sin(\pi)} \) и \( \sin(\pi) = 0 \), то \( \csc(\pi) \) не определен. Это означает, что функция имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = \frac{\pi}{3} \).

4. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этой точке не существует, так как касательная вертикальна.

Таким образом, в точке \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) тангенс угла наклона касательной к графику функции \( y = \cot(3x) \) не определён.