Исследовать функцию f(x)=х³-3х и построить её график

Question 1

Задача Задача №2547713

А

Аноним

20 декабря 2024 01:29 · публичный вопрос

А

Аноним 20 декабря 2024 01:29

Исследовать функцию f(x)=х³-3х и построить её график

Answer

Чтобы исследовать функцию \( f(x) = x^3 - 3x \), давайте рассмотрим несколько ключевых аспектов, таких как нули функции, производная, интервалы возрастания и убывания, а также график функции.

1. Нули функции

Найдем, при каких значениях \( x \) функция равна нулю: \[ f(x) = 0 \implies x^3 - 3x = 0 \] Можно вынести \( x \) за скобки: \[ x(x^2 - 3) = 0 \] Отсюда получаем: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm \sqrt{3} \] Таким образом, нули функции: \( x = 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3} \).

2. Производная функции

Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \] Теперь определим критические точки, при которых производная равна нулю: \[ f'(x) = 0 \implies x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x + 1 = 0 \] Это приводит к: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \]

3. Интервалы возрастания и убывания

Теперь определим, где функция возрастает или убывает:

Для \( x < -1 \) (выберем, например, \( x = -2 \)): \[ f'(-2) = 3(-2 - 1)(-2 + 1) = 3(-3)(-1) = 9 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Для \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 3(0 - 1)(0 + 1) = 3(-1)(1) = -3 < 0 \quad (\text{убывает}) \]
Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f'(2) = 3(2 - 1)(2 + 1) = 3(1)(3) = 9 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]

Таким образом, функция возрастает на \( (-\infty, -1) \) и \( (1, \infty) \), и убывает на \( (-1, 1) \).

4. Экстремумы

Теперь найдем значения функции в критических точках:

\( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \)
\( f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \)

Это означает:

Максимум в точке \( (-1, 2) \)
Минимум в точке \( (1, -2) \)

5. Построение графика

Теперь можно построить график функции. Он будет иметь следующие ключевые точки:

Пересечение с осью \( x \) в \( 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3} \)
Максимум в \( (-1, 2) \)
Минимум в \( (1, -2) \)

График функции будет иметь форму изгиба с одним локальным максимумом и одним локальным минимумом.

Если вам нужно больше информации о процессе построения графиков или других аспектах этой функции, пожалуйста, дайте знать!

Question 2

исследовать функцию f(x)=х³-3х и построить её график

Answer

Чтобы исследовать функцию \( f(x) = x^3 - 3x \), давайте рассмотрим несколько ключевых аспектов, таких как нули функции, производная, интервалы возрастания и убывания, а также график функции. ### 1. Нули функции Найдем, при каких значениях \( x \) функция равна нулю: \[ f(x) = 0 \implies x^3 - 3x = 0 \] Можно вынести \( x \) за скобки: \[ x(x^2 - 3) = 0 \] Отсюда получаем: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm \sqrt{3} \] Таким образом, нули функции: \( x = 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3} \). ### 2. Производная функции Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \] Теперь определим критические точки, при которых производная равна нулю: \[ f'(x) = 0 \implies x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x + 1 = 0 \] Это приводит к: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \] ### 3. Интервалы возрастания и убывания Теперь определим, где функция возрастает или убывает: - Для \( x < -1 \) (выберем, например, \( x = -2 \)): \[ f'(-2) = 3(-2 - 1)(-2 + 1) = 3(-3)(-1) = 9 > 0 \quad (\text{возрастает}) \] - Для \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 3(0 - 1)(0 + 1) = 3(-1)(1) = -3 < 0 \quad (\text{убывает}) \] - Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f'(2) = 3(2 - 1)(2 + 1) = 3(1)(3) = 9 > 0 \quad (\text{возрастает}) \] Таким образом, функция возрастает на \( (-\infty, -1) \) и \( (1, \infty) \), и убывает на \( (-1, 1) \). ### 4. Экстремумы Теперь найдем значения функции в критических точках: - \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \) - \( f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \) Это означает: - Максимум в точке \( (-1, 2) \) - Минимум в точке \( (1, -2) \) ### 5. Построение графика Теперь можно построить график функции. Он будет иметь следующие ключевые точки: - Пересечение с осью \( x \) в \( 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3} \) - Максимум в \( (-1, 2) \) - Минимум в \( (1, -2) \) График функции будет иметь форму изгиба с одним локальным максимумом и одним локальным минимумом. Если вам нужно больше информации о процессе построения графиков или других аспектах этой функции, пожалуйста, дайте знать!