Определить интервал возрастания и убывания точки экстремума y=3x^5-5x^3-9
Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции \( y = 3x^5 - 5x^3 - 9 \), сначала нужно найти производную функции и ее критические точки.
- Находим производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3 - 9) = 15x^4 - 15x^2 \]
- Упрощаем производную:
\[ y' = 15x^2(x^2 - 1) = 15x^2(x - 1)(x + 1) \]
- Нахождение критических точек: Теперь нам нужно найти значения \( x \), при которых \( y' = 0 \):
\[ 15x^2(x - 1)(x + 1) = 0 \]
Это уравнение выполняется, если:
- \( 15x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
- \( x - 1 = 0 \) → \( x = 1 \)
- \( x + 1 = 0 \) → \( x = -1 \)
Таким образом, критические точки: \( x = -1, 0, 1 \).
- Проверка знаков производной: Теперь определим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками:
- Интервал \( (-\infty, -1) \)
- Интервал \( (-1, 0) \)
- Интервал \( (0, 1) \)
- Интервал \( (1, +\infty) \)
Теперь подставим тестовые точки из каждого интервала в производную \( y' \).
- Для \( x = -2 \) (интервал \( (-\infty, -1) \)):
\[ y' = 15(-2)^2(-2 - 1)(-2 + 1) = 15(4)(-3)(-1) > 0 \]
- Для \( x = -0.5 \) (интервал \( (-1, 0) \)):
\[ y' = 15(-0.5)^2(-0.5 - 1)(-0.5 + 1) = 15(0.25)(-1.5)(0.5) < 0 \]
- Для \( x = 0.5 \) (интервал \( (0, 1) \)):
\[ y' = 15(0.5)^2(0.5 - 1)(0.5 + 1) = 15(0.25)(-0.5)(1.5) < 0 \]
- Для \( x = 2 \) (интервал \( (1, +\infty) \)):
\[ y' = 15(2)^2(2 - 1)(2 + 1) = 15(4)(1)(3) > 0 \]
- Определение интервалов возрастания и убывания:
- Интервал \( (-\infty, -1) \): функция возрастает
- Интервал \( (-1, 0) \): функция убывает
- Интервал \( (0, 1) \): функция убывает
- Интервал \( (1, +\infty) \): функция возрастает
- Итог: Функция \( y = 3x^5 - 5x^3 - 9 \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \), и убывает на интервалах \( (-1, 0) \) и \( (0, 1) \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!
