Определить интервал возрастания и убывания точки экстремума y=3x^5-5x^3-9
Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции \( y = 3x^5 - 5x^3 - 9 \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти производную функции. Это поможет нам определить точки экстремума и интервалы возрастания и убывания.
Производная функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3 - 9) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) \] Упрощаем: \[ y' = 15x^2(x - 1)(x + 1) \]
Найти критические точки. Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена: \[ 15x^2(x - 1)(x + 1) = 0 \] Это уравнение равно нулю при \( x = 0 \), \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Исследовать знак производной. Теперь рассмотрим интервалы, определенные критическими точками: \((-\infty, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +\infty)\).
Интервал \((-\infty, -1)\): Выберем точку \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 15(-2)^2(-2 - 1)(-2 + 1) = 15 \cdot 4 \cdot (-3) \cdot (-1) > 0 \] На этом интервале функция возрастает.
Интервал \((-1, 0)\): Выберем точку \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = 15(-0.5)^2(-0.5 - 1)(-0.5 + 1) = 15 \cdot 0.25 \cdot (-1.5) \cdot 0.5 < 0 \] На этом интервале функция убывает.
Интервал \((0, 1)\): Выберем точку \( x = 0.5 \): \[ y'(0.5) = 15(0.5)^2(0.5 - 1)(0.5 + 1) = 15 \cdot 0.25 \cdot (-0.5) \cdot 1.5 < 0 \] На этом интервале функция также убывает.
Интервал \((1, +\infty)\): Выберем точку \( x = 2 \): \[ y'(2) = 15(2)^2(2 - 1)(2 + 1) = 15 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 3 > 0 \] На этом интервале функция возрастает.
Сводим результаты:
- Функция возрастает на интервалах \((-\infty, -1)\) и \((1, +\infty)\).
- Функция убывает на интервалах \((-1, 0)\) и \((0, 1)\).
Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции \( y = 3x^5 - 5x^3 - 9 \) следующие:
- Возрастание: \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \)
- Убытие: \( (-1, 0) \) и \( (0, 1) \)
