Числа A и B записываются в двоичной системе счисления так: A — блок из цифр 10010 повторяется 30 раз B — блок из цифр 1000 повторяется 29 раз На какую максимальную степень двойки делится A · B?
Чтобы найти, на какую максимальную степень двойки делится произведение \( A \cdot B \), сначала определим их значения.
Число \( A \): Блок \( 10\text{010} \) состоит из 5 битов. Если он повторяется 30 раз, его длина в двоичной системе будет \( 5 \cdot 30 = 150 \) бит. В двоичной форме \( A \) будет выглядеть так: \[ 10\text{010}10\text{010}...10\text{010} \text{ (30 раз)} \]
Правое окончание (последние 5 бит) будет \( 10\text{010} \). Теперь найдем количество нулей и единиц, доставленных данным блоком.
Каждый блок \( 10\text{010} \) имеет 3 нуля и 2 единицы. Всего за 30 повторений:
- Количество нулей: \( 30 \cdot 3 = 90 \)
- Количество единиц: \( 30 \cdot 2 = 60 \)
Каждая единица дает меньше "веса" двойки. Следовательно, \( A \) делится на \( 2^{90} \).
Число \( B \): Блок \( 1000 \) состоит из 4 битов. Если он повторяется 29 раз, его длина в двоичной системе будет \( 4 \cdot 29 = 116 \) бит.
В двоичной форме \( B \) будет выглядеть так: \[ 1000 1000 ... 1000 \text{ (29 раз)} \]
Каждый блок \( 1000 \) имеет 3 нуля и 1 единицу. Всего за 29 повторений:
- Количество нулей: \( 29 \cdot 3 = 87 \)
- Количество единиц: \( 29 \cdot 1 = 29 \)
Аналогично, \( B \) делится на \( 2^{87} \).
Произведение \( A \cdot B \): Теперь найдем, на какую степень двойки делится произведение \( A \cdot B \): \[ A \cdot B \text{ делится на } 2^{90 + 87} = 2^{177} \]
Таким образом, максимальная степень двойки, на которую делится \( A \cdot B \), равна \( 177 \).
