Самостоятельная работа по теме «Экстремумы функции» B-2 Найти стационарные точки функции (2-11). 2. [2] y = -x" + 1. 3. [3] y = x" - 4x. 4. [3] y = x" + 3x2. 5. [3] y = x' - x. 6. 4) y = 2x" - 3x" - 12x + 5. 7. 2 - e" 8. [4] y = 6e" - e 9. [4 y = cos 10.[4] y = tg 2x. 11. [6] y = sin x- cos x. Найти точки экстремума функции (12-18). 12.[2] y = 5x - 2. 13. [3] y = -4x* + 24x - 15. 14. [4] y = x" + 6x". 15. 4] y = 6x - x3. 16. [5] y = 2 3 17. 2x+3 3- 2x x" 18. [5] y 2x-3 19.[6] На рисунке 67 изображён являющейся производной функции у = f(x). С помощью графика найти: график функции у = g(x), 1) точки экстремума функции у = f(x); 2) промежутки возрастания и убывания функции y = f(x). -6 Рис. 67 Для получения оценки «5»-20 баллов!

Доброго времени суток! Давайте разберем вашу самостоятельную работу по теме «Экстремумы функции» шаг за шагом.

Часть 1: Найти стационарные точки функций

Чтобы найти стационарные точки функции, нам нужно вычислить производную данной функции и приравнять её к нулю. Стационарные точки возникают там, где производная равна нулю или не существует.

1. Функция: \( y = -x^3 + 1 \)

   • Производная: \( y' = -3x^2 \)
   • Стационарные точки: \( -3x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)

2. Функция: \( y = x^3 - 4x \)

   • Производная: \( y' = 3x^2 - 4 \)
   • Стационарные точки: \( 3x^2 - 4 = 0 \) → \( x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \)

3. Функция: \( y = x^3 + 3x^2 \)

   • Производная: \( y' = 3x^2 + 6x \)
   • Стационарные точки: \( 3x^2 + 6x = 0 \) → \( x(3x + 6) = 0 \) → \( x = 0 \) или \( x = -2 \)

4. Функция: \( y = x^2 - x \)

   • Производная: \( y' = 2x - 1 \)
   • Стационарные точки: \( 2x - 1 = 0 \) → \( x = \frac{1}{2} \)

5. Функция: \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \)

   • Производная: \( y' = 6x^2 - 6x - 12 \)
   • Стационарные точки: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \) → используем дискриминант и находим корни.

6. Функция: \( y = 6e^x - e^{-x} \)

   • Производная: \( y' = 6e^x + e^{-x} \)
   • Стационарные точки: \( 6e^x + e^{-x} = 0 \) (здесь корней нет, так как обе части больше нуля).

7. Функция: \( y = \cos x \)

   • Производная: \( y' = -\sin x \)
   • Стационарные точки: \( -\sin x = 0 \) → \( x = n\pi \) (где \( n \) - целое число).

8. Функция: \( y = \tan(2x) \)

   • Производная: \( y' = 2\sec^2(2x) \)
   • Стационарные точки: \( 2\sec^2(2x) = 0 \) не имеет корней, так как секанс не может быть нулем.

9. Функция: \( y = \sin x - \cos x \)

   • Производная: \( y' = \cos x + \sin x \)
   • Стационарные точки: \( \cos x + \sin x = 0 \) → решить уравнение.

Часть 2: Найти точки экстремума функций

Чтобы найти точки экстремума, мы ищем те же стационарные точки, а затем используем знак производной или второй производной тест для определения, является ли точка минимумом или максимумом.

12. Для функции \( y = 5x - 2 \): Здесь производная постоянна и не имеет экстремумов.
13. Для функции \( y = -4x^2 + 24x - 15 \): Найдите производную и решите уравнение. Оцените второй производной.
14. Для функции \( y = x^3 + 6x^2 \): Найдите первую и вторую производные и оцените знаки.
15. Для функции \( y = 6x - x^3 \): Аналогично, найдите производные и определите экстремумы.
16. Для функции \( y = \frac{2x + 3}{3 - 2x} \): Нахождение производной и вычисление критических точек.
17. Для функции \( y = x^2 \): Найдите производные и определите ее.

Часть 3: Графические задачи

Для графической задачи нужно проанализировать график производной, чтобы определить:

1. Где график функции имеет горизонтальные тангенты (экстремумы).
2. Участки возрастания и убывания, определяемые знаком производной.

Надеюсь, это объяснение поможет вам понять, как находить стационарные точки и экстремумы функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с конкретными выражениями, не стесняйтесь спрашивать! Удачи в выполнении работы!