Даны координаты четыре вершины пирамиды А(7;2;4), В(7;-1;-2), С(3;3;1),D(-4;2;1) А) Найти угол между ребрами АB и DC, Б) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD

Давайте решим задачу шаг за шагом.

А) Найти угол между ребрами AB и DC

1. Найдём векторы AB и DC.
   Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (7 - 7; -1 - 2; -2 - 4) = (0; -3; -6) \)
   Вектор \( \overrightarrow{DC} = C - D = (3 - (-4); 3 - 2; 1 - 1) = (7; 1; 0) \)

2. Найдем косинус угла между векторами с помощью скалярного произведения:
   Скалярное произведение:
   \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 0 \cdot 7 + (-3) \cdot 1 + (-6) \cdot 0 = -3 \]

   Длину векторов:
   \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{DC}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

   Теперь используем формулу:
   \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DC}|} = \frac{-3}{(3\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{2})} = \frac{-3}{15\sqrt{10}} = \frac{-1}{5\sqrt{10}} \]

3. Найдём угол θ:
   \[ \theta = \arccos\left(\frac{-1}{5\sqrt{10}}\right) \]

Б) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \)

1. Найдём векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{AD} \):
   \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 7; 3 - 2; 1 - 4) = (-4; 1; -3) \] \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (-4 - 7; 2 - 2; 1 - 4) = (-11; 0; -3) \]

2. Теперь вычислим объем параллелепипеда, используя скалярное произведение: Объем \( V \) определяется как: \[ V = |\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})| \]

3. Сначала найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & -3 \\ -11 & 0 & -3 \end{vmatrix} \]

   После вычисления определителя получаем: \[ = \hat{i} \left( 1 \cdot (-3) - (-3) \cdot 0 \right) - \hat{j} \left( -4 \cdot (-3) - (-3) \cdot (-11) \right) + \hat{k} \left( -4 \cdot 0 - 1 \cdot (-11) \right) \] \[ = \hat{i}(-3) - \hat{j}(12 - 33) + \hat{k}(0 + 11) = (-3; 21; 11) \]

4. Теперь вычислим скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) = (0; -3; -6) \cdot (-3; 21; 11) \] \[ = 0 \cdot (-3) + (-3) \cdot 21 + (-6) \cdot 11 = -63 - 66 = -129 \]

5. Объем: \[ V = | -129 | = 129 \]

Ответы:

А) Угол между ребрами AB и DC можно найти через \( \theta = \arccos\left(\frac{-1}{5\sqrt{10}}\right) \)
Б) Объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \) равен 129.