Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: a) f (x) = x4 - 8х2 - 9 на промежутках [-1; 1] и [0; 3]; 6) f (x) = x2 +4/x на промежутках [-4; -1] и [1; 3]; в) f (x) = 3х5 -…

Давайте найдем наибольшее и наименьшее значения указанных функций на заданных промежутках.

a) \( f(x) = x^4 - 8x^2 - 9 \) на промежутках \([-1; 1]\) и \([0; 3]\)

1. Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 4x^3 - 16x \] Поставим производную в ноль для нахождения критических точек: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 0, x = -2, x = 2 \] Критические точки в пределах \([-1; 1]\): \(x = 0\).

2. Теперь вычислим значения функции в границах промежутков и критических точках: \[ f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \] \[ f(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9 \] \[ f(1) = 1^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \]

   На промежутке \([-1; 1]\) наименьшее значение: \(-16\), наибольшее: \(-9\).

Для промежутка \([0; 3]\):

1. Проверим критические точки: \(x = 0\) уже нашли.

2. Проверим границы: \[ f(0) = -9 \] \[ f(3) = 3^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0 \]

   На промежутке \([0; 3]\) наименьшее значение: \(-9\), наибольшее: \(0\).

б) \( f(x) = x^2 + \frac{4}{x} \) на промежутках \([-4; -1]\) и \([1; 3]\)

1. Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2x - \frac{4}{x^2} \] Установим \( f'(x) = 0 \): \[ 2x = \frac{4}{x^2} \implies 2x^3 = 4 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \] Проверим промежутки: Для \([-4; -1]\) значение критической точки не относится. Для \([1; 3]\) - значение попадает в диапазон.

2. Вычислим значения на границах и критических точках: \[ f(-4) = 16 - 1 = 15 \] \[ f(-1) = 1 + 4 = 5 \] \[ f(1) = 1 + 4 = 5 \] \[ f(3) = 9 + \frac{4}{3} \approx 9 + 1.33 = 10.33 \]

   На промежутке \([-4; -1]\) наименьшее значение: \(5\), наибольшее: \(15\).
   На промежутке \([1; 3]\) наименьшее значение: \(5\), наибольшее: \(10.33\).

в) \( f(x) = 3x^5 - 5x^3 \) на промежутках \([0; 2]\) и \([2; 3]\)

1. Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) \] Критические точки: \(x = 0, x = -1, x = 1\).

На промежутке \([0; 2]\): \[ f(0) = 0 \] \[ f(2) = 3(32) - 5(8) = 96 - 40 = 56 \] \[ f(1) = 3(1) - 5(1) = 3 - 5 = -2 \]

На промежутке \([0; 2]\) наименьшее значение: \(-2\), наибольшее: \(56\).

На промежутке \([2; 3]\): \[ f(3) = 3(243) - 5(27) = 729 - 135 = 594 \]

На промежутке \([2; 3]\) наименьшее значение: \(56\), наибольшее: \(594\).

г) \( f(x) = \frac{x}{x+1} \) на промежутках \([-3; -2]\) и \([1; 5]\)

1. Найдем производную: \[ f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - x(1)}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \] Производная положительна во всех точках, что свидетельствует о монотонности функции.

На промежутке \([-3; -2]\): \[ f(-3) = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \] \[ f(-2) = \frac{-2}{-1} = 2 \]

На промежутке \([-3; -2]\) наименьшее значение: \(1.5\), наибольшее: \(2\).

На промежутке \([1; 5]\): \[ f(1) = \frac{1}{2} = 0.5 \] \[ f(5) = \frac{5}{6} \approx 0.833 \]

На промежутке \([1; 5]\) наименьшее значение: \(0.5\), наибольшее: \(\frac{5}{6} \approx 0.833\).

Резюме:

• a) \([-1; 1]\): мин=-16, макс=-9; \([0; 3]\): мин=-9, макс=0.
• б) \([-4; -1]\): мин=5, макс=15; \([1; 3]\): мин=5, макс=10.33.
• в) \([0; 2]\): мин=-2, макс=56; \([2; 3]\): мин=56, макс=594.
• г) \([-3; -2]\): мин=1.5, макс=2; \([1; 5]\): мин=0.5, макс=0.833.