(2x-3)(x+3)≥0

Чтобы решить неравенство \((2x-3)(x+3) \geq 0\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти нули: Сначала нужно найти, при каких значениях \(x\) произведение будет равно нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
   • \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)
   • \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Таким образом, точки, в которых произведение равно нулю, - это \(x = -3\) и \(x = \frac{3}{2}\).

2. Определить промежутки: Эти значения делят числовую прямую на три промежутка:

   • \( (-\infty, -3) \)
   • \( (-3, \frac{3}{2}) \)
   • \( (\frac{3}{2}, +\infty) \)

3. Проверить знаки на каждом промежутке: Теперь необходимо выбрать точку из каждого промежутка и определить знак произведения \((2x-3)(x+3)\).

   • Для \((- \infty, -3)\): Выберем \(x = -4\): \((2 \cdot -4 - 3)(-4 + 3) = (-8 - 3)(-1) = (-11)(-1) = 11 > 0\)
   • Для \((-3, \frac{3}{2})\): Выберем \(x = 0\): \((2 \cdot 0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0\)
   • Для \((\frac{3}{2}, +\infty)\): Выберем \(x = 2\): \((2 \cdot 2 - 3)(2 + 3) = (4 - 3)(5) = (1)(5) = 5 > 0\)

4. Собрать результаты: После проверки знаков мы видим, что неравенство \((2x-3)(x+3) \geq 0\) выполняется для промежутков:

   • \( (-\infty, -3) \) и \( (\frac{3}{2}, +\infty) \)

5. Включаем точки, где произведение равно нулю: Так как в неравенстве имеется знак "больше или равно", мы должны включить точки \(x = -3\) и \(x = \frac{3}{2}\).

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [\frac{3}{2}, +\infty) \]