(2x-3)(x+3)≥0

Для того чтобы решить неравенство \((2x-3)(x+3) \geq 0\), начнем с нахождения нулевых точек, то есть значений \(x\), при которых произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:

1. \(2x - 3 = 0\) \[ 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \]

2. \(x + 3 = 0\) \[ x = -3 \]

Теперь у нас есть две критические точки: \(x = -3\) и \(x = \frac{3}{2}\). Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

1. \(x < -3\)
2. \(-3 \leq x < \frac{3}{2}\)
3. \(x \geq \frac{3}{2}\)

Теперь мы проверим каждый интервал на знак произведения \((2x-3)(x+3)\):

1. Для интервала \(x < -3\), например, возьмем \(x = -4\): \[ (2(-4) - 3)(-4 + 3) = (-8 - 3)(-1) = (-11)(-1) = 11 > 0 \] Произведение положительно.

2. Для интервала \(-3 < x < \frac{3}{2}\), например, возьмем \(x = 0\): \[ (2(0) - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0 \] Произведение отрицательно.

3. Для интервала \(x \geq \frac{3}{2}\), например, возьмем \(x = 2\): \[ (2(2) - 3)(2 + 3) = (4 - 3)(5) = (1)(5) = 5 > 0 \] Произведение положительно.

Теперь мы можем собрать результаты:

• Произведение положительно на интервале \(x < -3\) и на интервале \(x \geq \frac{3}{2}\).
• Произведение отрицательно на интервале \(-3 < x < \frac{3}{2}\).

Также стоит учесть, что нам нужно неравенство, включающее ноль \((\geq 0)\), поэтому мы должны включить нулевые точки \(x = -3\) и \(x = \frac{3}{2}\).

Итак, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -3] \cup \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) \]

Это значит, что значения \(x\) могут находиться в диапазоне от \(-\infty\) до \(-3\) включительно и от \(\frac{3}{2}\) до \(+\infty\) включительно.