(2x-5)(x+3)≥0

Чтобы решить неравенство \((2x-5)(x+3) \geq 0\), начнем с нахождения корней этого неравенства.

1. Найдем корни произведения: Сначала установим, где каждая скобка равна нулю:

   • \(2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)
   • \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

   Таким образом, корни выражения: \(x = -3\) и \(x = \frac{5}{2}\).

2. Определим интервалы: Корни разбивают числовую ось на три интервала:

   • \((-\infty, -3)\)
   • \((-3, \frac{5}{2})\)
   • \((\frac{5}{2}, +\infty)\)

3. Проверим знаки на этих интервалах: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение \((2x-5)(x+3)\):

   • Для интервала \((-\infty, -3)\), например, точка \(x = -4\): \((2(-4) - 5)((-4) + 3) = (-8 - 5)(-1) = (-13)(-1) = 13 > 0\)

   • Для интервала \((-3, \frac{5}{2})\), например, точка \(x = 0\): \((2(0) - 5)(0 + 3) = (-5)(3) = -15 < 0\)

   • Для интервала \((\frac{5}{2}, +\infty)\), например, точка \(x = 3\): \((2(3) - 5)(3 + 3) = (6 - 5)(6) = (1)(6) = 6 > 0\)

4. Соберем результаты: Теперь мы видим, что:

   • На интервале \((-\infty, -3)\) выражение положительно.
   • На интервале \((-3, \frac{5}{2})\) выражение отрицательно.
   • На интервале \((\frac{5}{2}, +\infty)\) выражение положительно.

5. Неравенство: Поскольку мы хотим, чтобы \((2x-5)(x+3) \geq 0\), нам интересны интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервал \((-\infty, -3]\) и \([\frac{5}{2}, +\infty)\).

Таким образом, решение неравенства \((2x-5)(x+3) \geq 0\) записывается как:

\[ x \in (-\infty, -3] \cup \left[\frac{5}{2}, +\infty\right) \]

Если у вас остались вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!