Давайте проанализируем предложенный текст, выделим грамматические основы и найдем приложения.
Когда стало совсем темно - грамматическая основа: "стало темно".
- Приложение: "совсем" (наречие).
каштанку овладели отчаяние и ужас - грамматическая основа: "овладели отчаяние и ужас".
- Приложение: "каштанку" (существительное, прямое дополнение).
Страдалица напряглась к какому-то подъезду - грамматическая основа: "напряглась".
- Приложение: "Страдалица" (подлежащее), "к какому-то подъезду" (обстоятельство места).
и стало горько плакать - грамматическая основа: "стало плакать".
- Приложение: "горько" (наречие).
Целодневное путешествие с Лукой Александровичем утомило её - грамматическая основа: "утаило её".
- Приложение: "Целодневное путешествие" (подлежащее), "с Лукой Александровичем" (обстоятельство).
Уши и лапы Каштанки озябли - грамматическая основа: "озябли".
- Приложение: "Уши и лапы Каштанки" (подлежащее).
и к тому же ещё она уставшая и обессиленная была ужасно голодна - грамматическая основа: "была голодна".
- Приложение: "и к тому же ещё она уставшая и обессиленная" (подлежащее).
За весь день ей приходилось жевать только два раза - грамматическая основа: "ей приходилось жевать".
- Приложение: "За весь день" (обстоятельство времени), "только два раза" (обстоятельство количества).
Поела у переплетчика друга своего хозяина немножко клейстера - грамматическая основа: "Поела".
- Приложение: "у переплетчика друга своего хозяина" (обстоятельство места), "немножко клейстера" (прямое дополнение).
Да в одном из трактиров около прилавка нашла сущую безделицу колбасную кожицу - грамматическая основа: "нашла".
- Приложение: "в одном из трактиров около прилавка" (обстоятельство места), "сущую безделицу колбасную кожицу" (прямое дополнение).
Вот и всё, если бы она, Каштанка, была человеком, то, наверное, подумала бы, что нет, так жить невозможно, нужно застрелиться - грамматическая основа: "она была", "подумала", "нужно застрелиться".
- Приложение: "Каштанка" (подлежащее), "что нет, так жить невозможно" (предложное приложение).
Теперь вы можете увидеть, как работают грамматические основы и приложения в тексте. Если есть дополнительные вопросы или что-то еще, с чем нужно помочь, дайте знать!