(x²+4) (x+4) (x-8) ≤0
Для решения неравенства \( (x^2 + 4)(x + 4)(x - 8) \leq 0 \), начнем с анализа каждого из множителей.
Рассмотрим первый множитель \( x^2 + 4 \). Это выражение всегда положительно, поскольку \( x^2 \) неотрицательно и прибавив 4, мы получаем положительное значение для любых \( x \). Значит, этот множитель не влияет на знак неравенства.
Рассмотрим второй множитель \( x + 4 \). Он равен нулю, когда \( x = -4 \). При этом значение этого множителя меняет знак:
- Когда \( x < -4 \), \( x + 4 < 0 \) (отрицательно).
- Когда \( x > -4 \), \( x + 4 > 0 \) (положительно).
Рассмотрим третий множитель \( x - 8 \). Он равен нулю, когда \( x = 8 \). Рассмотрим его знак:
- Когда \( x < 8 \), \( x - 8 < 0 \) (отрицательно).
- Когда \( x > 8 \), \( x - 8 > 0 \) (положительно).
Теперь мы объединяем информацию о знаках:
На интервале \( (-\infty, -4) \):
- \( x + 4 < 0 \)
- \( x - 8 < 0 \)
- \( (x + 4)(x - 8) < 0 \) (положительное значение).
На интервале \( (-4, 8) \):
- \( x + 4 > 0 \)
- \( x - 8 < 0 \)
- \( (x + 4)(x - 8) < 0 \) (отрицательное значение).
На интервале \( (8, +\infty) \):
- \( x + 4 > 0 \)
- \( x - 8 > 0 \)
- \( (x + 4)(x - 8) > 0 \) (положительное значение).
Теперь мы можем сказать, что неравенство \( (x^2 + 4)(x + 4)(x - 8) \leq 0 \) выполняется на интервале \( (-4, 8) \) и в точках \( x = -4 \) и \( x = 8 \) (где произведение равно нулю).
Таким образом, ответ на неравенство:
\[ x \in [-4, 8] \]
Если есть другие вопросы или требуется дальнейшее объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
