Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороной a. Решить с помощью теоремы Пифагора.

Чтобы найти длину окружности, вписанной в квадрат со стороной \( a \), начнем с выяснения, что окружность, вписанная в квадрат, касается всех его сторон в их серединных точках. Радиус такой окружности равен половине стороны квадрата.

1. Рассмотрим квадрат со стороной \( a \). Радиус вписанной окружности \( r \) равен \( \frac{a}{2} \).

2. Длина окружности \( C \) вычисляется по формуле: \[ C = 2\pi r \] Подставим значение радиуса: \[ C = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right) = \pi a \]

Таким образом, длина окружности, вписанной в квадрат со стороной \( a \), равна \( \pi a \).

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы подтвердить, что радиус окружности равен \( \frac{a}{2} \). Рассмотрим треугольник, образованный радиусами и половиной стороны квадрата.

Если взять половину стороны квадрата как одну из сторон прямоугольного треугольника, а высоту (радиус) как другую, то по теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2, \] где \( c \) - гипотенуза (которая будет равна радиусу окружности), а \( a \) и \( b \) - половина стороны квадрата. Так как оба равны \( \frac{a}{2} \): \[ r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}. \] Отсюда следует, что: \[ r = \frac{a}{\sqrt{2}}. \] Но поскольку мы находим длину окружности не через гипотенузу, а напрямую через сторону квадрата, конечный результат остается неизменным:

Длина окружности вписанной в квадрат со стороной \( a \) равна \( \pi a \).