даны четыри точки плоскости xOy O( 0 ,0) A( 4,0) B(0,8) C(4,8) вычислить криволинейный интеграл (2x-3y)dx-(3x-4y)dy 1) по ломаной OAC 2)по ломаной OBC 3) по дуге OC параболы…

Чтобы вычислить криволинейный интеграл заданного вида вдоль различных контуров, давайте рассмотрим каждую из указанных ломаных и дугу.

1. По ломаной OAC:

Ломаная OAC состоит из двух отрезков:

• Отрезок OA: от O(0,0) до A(4,0)
• Отрезок AC: от A(4,0) до C(4,8)

Для отрезка OA: Параметризация: x = t, y = 0, где t изменяется от 0 до 4. Тогда dx = dt, dy = 0.

Теперь подставим в интеграл: \[ \int_{O}^{A} (2x - 3y)dx - (3x - 4y)dy = \int_{0}^{4} (2t - 3 \cdot 0)dt - (3t - 4 \cdot 0) \cdot 0 = \int_{0}^{4} 2t dt \] Вычислим: \[ \int 2t dt = t^2 \bigg|_0^4 = 4^2 - 0^2 = 16 \]

Для отрезка AC: Параметризация: x = 4, y = t, где t изменяется от 0 до 8. Тогда dx = 0, dy = dt.

Подставим в интеграл: \[ \int_{A}^{C} (2x - 3y)dx - (3x - 4y)dy = \int_{0}^{8} (2 \cdot 4 - 3t) \cdot 0 - (3 \cdot 4 - 4t) dt = -\int_{0}^{8} (12 - 4t) dt \] Вычислим: \[ -\left( 12t - 2t^2 \right) \bigg|_0^8 = -\left( 12 \cdot 8 - 2 \cdot 64 \right) = -\left( 96 - 128 \right) = -(-32) = 32 \]

Теперь сложим результаты: Криволинейный интеграл по OAC = 16 + 32 = 48.

2. По ломаной OBC:

Ломаная OBC также состоит из двух отрезков:

• Отрезок OB: от O(0,0) до B(0,8)
• Отрезок BC: от B(0,8) до C(4,8)

Для отрезка OB: Параметризация: x = 0, y = t, где t изменяется от 0 до 8. dx = 0, dy = dt.

Подставим в интеграл: \[ \int_{O}^{B} (2x - 3y)dx - (3x - 4y)dy = \int_{0}^{8} (2 \cdot 0 - 3t) \cdot 0 - (3 \cdot 0 - 4t) dt = -\int_{0}^{8} (-4t) dt \] Вычислим: \[ 4 \int t dt = 4 \cdot \left(\frac{t^2}{2}\right) \bigg|_0^8 = 4 \cdot \left(\frac{64}{2}\right) = 4 \cdot 32 = 128 \]

Для отрезка BC: Параметризация: x = t, y = 8, где t изменяется от 0 до 4. dx = dt, dy = 0.

Подставим в интеграл: \[ \int_{B}^{C} (2x - 3y)dx - (3x - 4y)dy = \int_{0}^{4} (2t - 3 \cdot 8)dt - (3t - 4 \cdot 8) \cdot 0 = \int_{0}^{4} (2t - 24) dt \] Вычислим: \[ \left(t^2 - 24t\right) \bigg|_0^4 = \left(16 - 96\right) = -80 \]

Теперь сложим результаты: Криволинейный интеграл по OBC = 128 - 80 = 48.

3. По дуге OC параболы y = \frac{1}{2}x^2:

Параметризация: x = t, y = \frac{1}{2}t^2, где t изменяется от 0 до 4. dx = dt, dy = t dt.

Теперь подставим в интеграл: \[ \int_{O}^{C} \left(2t - 3\left(\frac{1}{2}t^2\right)\right)dt - \left(3t - 4\left(\frac{1}{2}t^2\right)\right) t dt \] Упрощаем: \[ \int_{0}^{4} \left(2t - \frac{3}{2}t^2\right)dt - \int_{0}^{4} \left(3t - 2t^2\right)t dt \]

Теперь вычислим первый интеграл: \[ = \left(t^2 - \frac{1}{2}t^3\right) \bigg|_0^4 = \left(16 - 32\right) = -16 \]

Теперь второй интеграл: \[ = \int_{0}^{4} \left(3t^2 - 2t^3\right) dt = \left(t^3 - \frac{1}{2}t^4\right) \bigg|_0^4 = \left(64 - 128\right) = -64 \]

Теперь складываем результаты: Криволинейный интеграл по OC = -16 - (-64) = 48.

Таким образом, результаты интегралов по всем указанным ломаным и дуге OC равны:

1. По OAC: 48
2. По OBC: 48
3. По OC: 48.