График функции представляет собой ломаную АВСКМ, где А(-7; 1), В(-4; 2), С(-1; -4), К(3; 0), М(7; -2). Для данной функции н а) область определения; 6) множество значений; в) нули; г) промежутки знакопостоянства.
Для анализа функции, заданной ломаной линией АВСКМ, рассмотрим каждую часть задания.
а) Область определения
Область определения — это все значения аргумента (x), для которых функция имеет смысл. В данном случае, точки A, B, C, K и M задают множество определенных x:
- A(-7; 1) → x = -7
- B(-4; 2) → x = -4
- C(-1; -4) → x = -1
- K(3; 0) → x = 3
- M(7; -2) → x = 7
Область определения функции в данном случае — это интервал от наименьшего x до наибольшего:
\[ D = [-7; 7] \]
б) Множество значений
Множество значений — это все возможные значения y, которые принимает функция в пределах области определения. Рассмотрим значения y, соответствующие заданным точкам:
- A → y = 1
- B → y = 2
- C → y = -4
- K → y = 0
- M → y = -2
Находим минимальное и максимальное значение y:
Максимум: 2 (y от точки B)
Минимум: -4 (y от точки C)
Таким образом, множество значений функции:
\[ W = [-4; 2] \]
в) Нули
Нули функции (значения x, при которых y = 0) достигаются в точке K(3; 0), поэтому:
\[ \text{Нули функции: } x = 3 \]
г) Промежутки знакопостоянства
Для нахождения промежутков знакопостоянства, определим, где функция положительна, а где отрицательна, основываясь на значениях y в различных промежутках:
- (-7, -4): y = 1 (положительно)
- (-4, -1): y меняется от 2 до -4, значит в этом промежутке будет отрицательное значение.
- (-1, 3): y меняется от -4 до 0, здесь также отрицательно.
- (3, 7): y меняется от 0 до -2, оставаясь отрицательным.
Теперь систематизируем промежутки:
- Функция положительна на промежутке: \((-7, -4)\)
- Функция отрицательна на промежутках: \((-4, 7)\) (заметим, что в точке x=3 функция равна нулю)
Таким образом, окончательные результаты:
а) \( D = [-7; 7] \)
б) \( W = [-4; 2] \)
в) Нули: \( x = 3 \)
г) Промежутки знакопостоянства: Положительна на \((-7, -4)\), Отрицательна на \((-4, 7)\) (включая точку x=3).
