Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 𝑦 = 𝑥 2 y=x 2 и 𝑦 = 3 𝑥 + 2 𝑥 2 y=3x+2x 2 .
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y = 3x + 2x^2\), нужно выполнить следующие шаги:
Найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения друг к другу: \[ x^2 = 3x + 2x^2 \] Перепишем уравнение: \[ 0 = 2x^2 - 3x \] Вынесем общий множитель: \[ 0 = x(2x - 3) \] Это уравнение равно нулю при \(x = 0\) и \(x = \frac{3}{2}\). Таким образом, точки пересечения находятся в \(x = 0\) и \(x = \frac{3}{2}\).
Найти площадь между кривыми. Для этого вычислим интеграл от разности функций на интервале от 0 до \(\frac{3}{2}\): Площадь \(S\) можно выразить так: \[ S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} \left((3x + 2x^2) - x^2\right) dx \] Упростим подынтегральное выражение: \[ S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (2x^2 + 3x) dx \]
Вычислить интеграл: \[ S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (2x^2 + 3x) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^{\frac{3}{2}} \]
Подставим пределы интегрирования: \[ S = \left( \frac{2}{3} \left(\frac{3}{2}\right)^3 + \frac{3}{2} \left(\frac{3}{2}\right)^2 \right) - \left( 0 \right) \] Вычислим каждое выражение: \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \] \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{8} \]
Теперь сложим: \[ S = \frac{9}{4} + \frac{27}{8} \] Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю 8: \[ \frac{9}{4} = \frac{18}{8} \] Таким образом: \[ S = \frac{18}{8} + \frac{27}{8} = \frac{45}{8} \]
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y = 3x + 2x^2\), равна \(\frac{45}{8}\) квадратных единиц.
