В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4), B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6), C ( 8 ; 6 ) C(8;6), D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y ≥ x y≥x и y ≥ 1 y≥1.

Question 1

Задача Задача №2549030

А

Аноним

20 декабря 2024 06:12 · публичный вопрос

А

Аноним 20 декабря 2024 06:12

В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4), B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6), C ( 8 ; 6 ) C(8;6), D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y ≥ x y≥x и y ≥ 1 y≥1.

Answer

Чтобы найти вероятность того, что координаты случайной точки \(X(x;y)\) в заданном прямоугольнике \(ABCD\) принадлежат области, заданной неравенствами \(y \geq x\) и \(y \geq 1\), нам необходимо выполнить следующие шаги:

Определить координаты и площадь прямоугольника:

Вершины прямоугольника \(ABCD\):
- \(A(-4, -4)\)
- \(B(-4, 6)\)
- \(C(8, 6)\)
- \(D(8, -4)\)
Длина прямоугольника можно найти по формуле: \[ \text{Длина} = x_{max} - x_{min} = 8 - (-4) = 12 \]

Высота: \[ \text{Высота} = y_{max} - y_{min} = 6 - (-4) = 10 \]

Таким образом, площадь прямоугольника \(S_{rectangle}\) равна: \[ S_{rectangle} = \text{Длина} \times \text{Высота} = 12 \times 10 = 120 \]
Найти область, заданную неравенствами:
- Неравенство \(y \geq x\) описывает область выше линии \(y = x\).
- Неравенство \(y \geq 1\) описывает область выше линии \(y = 1\).
Теперь находим точки пересечения этих линий с границами прямоугольника.
- Линия \(y = x\) пересекает прямоугольник в следующих точках:
  - При \(x = 1\), \(y = 1\).
  - Другие точки пересечения не будут находится в области, так как строгое ограничение на значения \(x\) и \(y\) прямоугольника.
- Линия \(y = 1\) будет пересекать вертикальные границы \(x = -4\) и \(x = 8\) в точках:
  - \((-4, 1)\) и \((8, 1)\).
Область пересечения:

Теперь, чтобы найти площадь области, удовлетворяющей одновременно обоим неравенствам, мы можем отметить, что интересующая нас область будет ограничена:
- Отрезком от точки \((-4, 1)\) до точки \((1, 1)\).
- Вертикальной линией от \((1, 1)\) до точки \((1, 6)\).
- Границей \(y = 6\) от \((1, 6)\) до \((8, 6)\).
- Вертикальной линией от \((8, 6)\) до \((8, 1)\).
- И отрезком от точки \((8, 1)\) до \((-4, 1)\).
Теперь расчитаем площадь этой области. Она имеет форму трапеции.

Площадь данной области \(S_{area}\) будет считаться следующим образом: \[ S_{area} = (\text{высота}_1 + \text{высота}_2) \times \text{основание}/2 \] где \(\text{высота}_1 = 6 - 1 = 5\) (разница по \(y\)), а \(\text{высота}_2 = 10 = 10 - 1 = 9\). \[ S_{area} = \frac{(5 + 9)}{2} \times (8 - 1) = 7 \times 7 = 49 \]
Вычисление вероятности:

Вероятность того, что координаты случайно выбранной точки \(X(x;y)\) принадлежат данной области, равна отношению площади области \(S_{area}\) к площади прямоугольника \(S_{rectangle}\): \[ P = \frac{S_{area}}{S_{rectangle}} = \frac{49}{120} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка \(X(x;y)\) в прямоугольнике \(ABCD\) удовлетворяет заданным неравенствам, составляет \(\frac{49}{120}\).

Question 2

В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4), B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6), C ( 8 ; 6 ) C(8;6), D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y ≥ x y≥x и y ≥ 1 y≥1.

Answer

Чтобы найти вероятность того, что координаты случайной точки \(X(x;y)\) в заданном прямоугольнике \(ABCD\) принадлежат области, заданной неравенствами \(y \geq x\) и \(y \geq 1\), нам необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Определить координаты и площадь прямоугольника**: Вершины прямоугольника \(ABCD\): - \(A(-4, -4)\) - \(B(-4, 6)\) - \(C(8, 6)\) - \(D(8, -4)\) Длина прямоугольника можно найти по формуле: \[ \text{Длина} = x_{max} - x_{min} = 8 - (-4) = 12 \] Высота: \[ \text{Высота} = y_{max} - y_{min} = 6 - (-4) = 10 \] Таким образом, площадь прямоугольника \(S_{rectangle}\) равна: \[ S_{rectangle} = \text{Длина} \times \text{Высота} = 12 \times 10 = 120 \] 2. **Найти область, заданную неравенствами**: - Неравенство \(y \geq x\) описывает область выше линии \(y = x\). - Неравенство \(y \geq 1\) описывает область выше линии \(y = 1\). Теперь находим точки пересечения этих линий с границами прямоугольника. - Линия \(y = x\) пересекает прямоугольник в следующих точках: - При \(x = 1\), \(y = 1\). - Другие точки пересечения не будут находится в области, так как строгое ограничение на значения \(x\) и \(y\) прямоугольника. - Линия \(y = 1\) будет пересекать вертикальные границы \(x = -4\) и \(x = 8\) в точках: - \((-4, 1)\) и \((8, 1)\). 3. **Область пересечения**: Теперь, чтобы найти площадь области, удовлетворяющей одновременно обоим неравенствам, мы можем отметить, что интересующая нас область будет ограничена: - Отрезком от точки \((-4, 1)\) до точки \((1, 1)\). - Вертикальной линией от \((1, 1)\) до точки \((1, 6)\). - Границей \(y = 6\) от \((1, 6)\) до \((8, 6)\). - Вертикальной линией от \((8, 6)\) до \((8, 1)\). - И отрезком от точки \((8, 1)\) до \((-4, 1)\). Теперь расчитаем площадь этой области. Она имеет форму трапеции. Площадь данной области \(S_{area}\) будет считаться следующим образом: \[ S_{area} = (\text{высота}_1 + \text{высота}_2) \times \text{основание}/2 \] где \(\text{высота}_1 = 6 - 1 = 5\) (разница по \(y\)), а \(\text{высота}_2 = 10 = 10 - 1 = 9\). \[ S_{area} = \frac{(5 + 9)}{2} \times (8 - 1) = 7 \times 7 = 49 \] 4. **Вычисление вероятности**: Вероятность того, что координаты случайно выбранной точки \(X(x;y)\) принадлежат данной области, равна отношению площади области \(S_{area}\) к площади прямоугольника \(S_{rectangle}\): \[ P = \frac{S_{area}}{S_{rectangle}} = \frac{49}{120} \] Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка \(X(x;y)\) в прямоугольнике \(ABCD\) удовлетворяет заданным неравенствам, составляет \(\frac{49}{120}\).