В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4), B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6), C ( 8 ; 6 ) C(8;6), D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y ≥ x y≥x и y ≥ 1 y≥1.
Чтобы найти вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) выбранная внутри прямоугольника ABCD, удовлетворяет условиям неравенств \( y \geq x \) и \( y \geq 1 \), нам нужно сначала определить размеры области, описанной этими неравенствами, и затем сравнить её с площадью прямоугольника.
Найдем площадь прямоугольника ABCD:
Вершины прямоугольника:
- \( A (-4; -4) \)
- \( B (-4; 6) \)
- \( C (8; 6) \)
- \( D (8; -4) \)
Длина прямоугольника (по оси x): \[ |8 - (-4)| = 8 + 4 = 12 \]
Ширина прямоугольника (по оси y): \[ |6 - (-4)| = 6 + 4 = 10 \]
Площадь прямоугольника: \[ S_{ABCD} = длина \times ширина = 12 \times 10 = 120 \]
Найдём область, удовлетворяющую неравенствам \( y \geq x \) и \( y \geq 1 \):
- Уравнение \( y = x \) — это прямая, которая проходит через начало координат и наклонена под углом \( 45^\circ \).
- Уравнение \( y = 1 \) — это горизонтальная прямая, проходящая через точку \( (1; 1) \) и параллельная оси x.
Пересечение этих двух прямых: \[ x = 1 \quad и \quad y = 1 \] То есть, точка \( (1; 1) \).
Границы области:
Мы хотим найти область, которая находится над линией \( y = x \) и выше линии \( y = 1 \):
- Принимаем \( x \) от \(-4\) до \(8\), но ограничиваем по \( y \) от \(1\) до верхней границы прямоугольника, то есть до \(6\).
Теперь определим области в координатной системе.
- Обозначим:
- Линия \( y = 1 \) будет проходить от точки \( (-4; 1) \) до точки \( (8; 1) \).
- Линия \( y = x \) будет пересекаться с прямой \( y = 1 \) в точке \( (1; 1) \).
Находим площадь области, ограниченной этими неравенствами:
Прямоугольник, ограниченный:
- \( x \) от \( 1 \) до \( 6 \) (это максимальное значение \( y \) в прямоугольнике).
- И \( y \) от \( 1 \) до \(6\).
Площадь данной области:
- Ширина: \( 6 - 1 = 5 \)
- Длина: \( 6 - 1 = 5 \)
Площадь искомой области: \[ S_{области} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \]
Найдем вероятность:
Вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) принадлежит данной области: \[ P = \frac{S_{области}}{S_{ABCD}} = \frac{12.5}{120} = \frac{1}{9.6} \approx 0.1042 \]
Итак, вероятность того, что координаты точки \( X(x; y) \) удовлетворяют условиям неравенств \( y \geq x \) и \( y \geq 1 \) составляет примерно \( 0.1042 \) или \( 10.42\% \).
