(x²-4) (x+7) ≤0
Чтобы решить неравенство \((x² - 4)(x + 7) ≤ 0\), давайте сначала разложим его на множители и найдем корни.
Найдем корни первого множителя: \[ x² - 4 = 0 \] Это можно представить как разность квадратов: \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] Таким образом, корни равны \(x = 2\) и \(x = -2\).
Найдем корень второго множителя: \[ x + 7 = 0 \implies x = -7 \]
Теперь у нас есть три критические точки: \(x = 2\), \(x = -2\) и \(x = -7\). Эти точки разделяют числовую ось на интервалы, где мы будем проверять знак произведения \((x² - 4)(x + 7)\).
Важные интервалы: \((-∞, -7)\), \((-7, -2)\), \((-2, 2)\), \((2, +∞)\).
- Проверим знаки на каждом интервале:
Интервал \((-∞, -7)\): Выберем \(x = -8\): \(((-8)² - 4)(-8 + 7) = (64 - 4)(-1) = 60 \cdot (-1) < 0\).
Интервал \((-7, -2)\): Выберем \(x = -5\): \(((-5)² - 4)(-5 + 7) = (25 - 4)(2) = 21 \cdot 2 > 0\).
Интервал \((-2, 2)\): Выберем \(x = 0\): \((0² - 4)(0 + 7) = (-4)(7) < 0\).
Интервал \((2, +∞)\): Выберем \(x = 3\): \((3² - 4)(3 + 7) = (9 - 4)(10) = 5 \cdot 10 > 0\).
- Соберем результаты: По результатам проверок, мы видим, что произведение меньше либо равно нулю на интервалах:
- \((-∞, -7)\)
- \([-2, 2]\), где точки \(x = -2\) и \(x = 2\) включены в решение, потому что на них произведение равно нулю.
- Итог: Таким образом, решением неравенства \((x² - 4)(x + 7) ≤ 0\) является: \[ (-∞, -7) \cup [-2, 2] \] Это значит, что \(x\) может принимать значения в этих интервалах.
