17. Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. У первой из них радиус орбиты втрое больше, чем у второй. Каково отношение сил притяжения первой и второй планеты к звезде?
Давайте разберёмся с этой задачей на основе закона всемирного тяготения и второго закона Кеплера.
Сила притяжения \( F \) между двумя телами, в данном случае между планетой и звездой, определяется по формуле:
\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}, \]
где:
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса звезды,
- \( m \) — масса планеты,
- \( r \) — радиус орбиты.
Согласно условию задачи, у первой планеты радиус орбиты \( r_1 \) в три раза больше, чем у второй планеты \( r_2 \): \[ r_1 = 3r_2. \]
Теперь подставим радиусы орбит в формулу для силы притяжения:
Для первой планеты: \[ F_1 = \frac{G \cdot M \cdot m}{(3r_2)^2} = \frac{G \cdot M \cdot m}{9r_2^2}. \]
Для второй планеты: \[ F_2 = \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2}. \]
Теперь найдем отношение сил притяжения: \[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{G \cdot M \cdot m}{9r_2^2}}{\frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2}} = \frac{1}{9}. \]
Таким образом, отношение сил притяжения первой планеты к звездe к силе притяжения второй планеты к звезде составляет \( \frac{1}{9} \). Это означает, что сила притяжения первой планеты к звезде в 9 раз меньше, чем сила притяжения второй планеты к звезде.
