Решите неравенство 4x2-8x<=0

Чтобы решить неравенство \( 4x^2 - 8x \leq 0 \), сначала можно упростить его.

1. Вынесем общий множитель \( 4 \) за скобки: \[ 4(x^2 - 2x) \leq 0 \]

2. Теперь разделим обе стороны на 4 (так как 4 положительное число, знак неравенства не изменится): \[ x^2 - 2x \leq 0 \]

3. Далее, для удобства, можно записать это неравенство в виде, \[ x(x - 2) \leq 0 \]

4. Теперь найдем корни уравнения \( x(x - 2) = 0 \). Это дает нам два корня: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \]

5. Теперь мы можем определить интервалы, где выражение \( x(x - 2) \) меняет знак. Мы проверим знаки в интервалах: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) и \( (2, +\infty) \).

   • Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ -1(-1 - 2) = -1 \cdot (-3) = 3 \quad (> 0) \]
   • Для \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \[ 1(1 - 2) = 1 \cdot (-1) = -1 \quad (\leq 0) \]
   • Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ 3(3 - 2) = 3 \cdot 1 = 3 \quad (> 0) \]

6. С учетом полученных знаков, мы видим, что неравенство \( x(x - 2) \leq 0 \) выполняется в интервале \( [0, 2] \).

Таким образом, решение неравенства \( 4x^2 - 8x \leq 0 \) — это интервал: \[ x \in [0, 2] \]