arcctg(-корень 3/3)-arctg корень3/3

Чтобы упростить выражение \( \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) \), давайте рассмотрим каждую часть отдельно.

1. \( \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) \) — это угол, значение котангенса которого равно \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\). Котангенс отрицателен в 2 и 4 четвертях. Зная, что \( \cot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), мы можем сказать, что \( \cot(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Таким образом: \[ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}. \]

2. \( \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) \) — это угол, значение которого равно \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Мы знаем, что \( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Таким образом: \[ \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}. \]

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: \[ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}. \]

Итак, конечный результат: \[ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{3}. \]