2log^2 x 3log↓3 x-2 =0

Чтобы решить уравнение \( 2\log^2 x + 3\log_3 x - 2 = 0 \), начнем с замены переменной, чтобы упростить выражение. Обозначим \( y = \log_3 x \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 + 3y - 2 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы решения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -2 \):

\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \] \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} \] \[ y = \frac{-3 \pm 5}{4} \]

Теперь найдем два возможных значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
2. \( y_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Теперь вернемся к переменной \( x \). Помним, что \( y = \log_3 x \):

1. Для \( y_1 = \frac{1}{2} \): \[ \log_3 x = \frac{1}{2} \implies x = 3^{1/2} = \sqrt{3} \]

2. Для \( y_2 = -2 \): \[ \log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9} \]

Таким образом, мы нашли два решения:

\[ x_1 = \sqrt{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1}{9} \]

Это и есть окончательные ответы на уравнение. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь задавать!