в некотором испытание Бернулли успех наступает с вероятностью p=0,5 найдите вероятность того что в серии из 4 такие испытаний а) наступит ровно 2 успеха б) наступит ровно 1 успех…

В задаче нам нужно использовать биномиальное распределение, которое описывает количество успехов в серии независимых испытаний с двумя возможными исходами (успех и неудача). Вероятность успеха в каждом испытании равна \(p = 0.5\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p = 0.5\).

Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \(P(X = k)\) — вероятность получения ровно \(k\) успехов,
• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \(n\) — общее число испытаний,
• \(k\) — число успехов,
• \(p\) — вероятность успеха в каждом испытании,
• \(q\) — вероятность неудачи в каждом испытании.

У нас \(n = 4\). Рассмотрим каждый случай.

а) Вероятность того, что наступит ровно 2 успеха \((k = 2)\):

\[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = C(4, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 \]

Сначала вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \]

Теперь подставим значения:

\[ P(X = 2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot (0.25) \cdot (0.25) = 6 \cdot 0.0625 = 0.375 \]

б) Вероятность того, что наступит ровно 1 успех \((k = 1)\):

\[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{4-1} \]

Вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4 \]

Теперь подставим значения:

\[ P(X = 1) = 4 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25 \]

в) Вероятность того, что наступит ровно 3 успеха \((k = 3)\):

\[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} \]

Вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \]

Теперь подставим значения:

\[ P(X = 3) = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25 \]

г) Вероятность того, что все испытания окончатся неудачей \((k = 0)\):

\[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{4-0} \]

Вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C(4, 0) = 1 \]

Теперь подставим значения:

\[ P(X = 0) = 1 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.0625 = 0.0625 \]

Итак, результаты следующие: а) Вероятность 2 успехов: \(0.375\)
б) Вероятность 1 успеха: \(0.25\)
в) Вероятность 3 успехов: \(0.25\)
г) Вероятность неудач: \(0.0625\)