F(x) = 7x ^ 2 + 4x - 3

Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = 7x^2 + 4x - 3 \).

1. Определение функции

Это квадратичная функция, которая имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 7 \) (коэффициент перед \( x^2 \)),
• \( b = 4 \) (коэффициент перед \( x \)),
• \( c = -3 \) (свободный член).

2. График функции

График квадратичной функции — это парабола. Поскольку \( a > 0 \), парабола будет открыта вверх.

3. Вершина параболы

Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой для \( x \)-координаты вершины: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения: \[ x = -\frac{4}{2 \cdot 7} = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7} \]

Теперь можем найти \( y \)-координату вершины, подставив \( x \) обратно в функцию: \[ f\left(-\frac{2}{7}\right) = 7\left(-\frac{2}{7}\right)^2 + 4\left(-\frac{2}{7}\right) - 3 \] \[ = 7\cdot\frac{4}{49} - \frac{8}{7} - 3 \] \[ = \frac{28}{49} - \frac{56}{49} - \frac{147}{49} \] \[ = \frac{28 - 56 - 147}{49} = \frac{-175}{49} = -\frac{25}{7} \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{2}{7}, -\frac{25}{7}\right) \).

4. Нахождение корней

Чтобы найти корни функции, используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим наши значения: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 \] Так как дискриминант положительный, у функции два различных корня. Находим их с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm 10}{14} \] Теперь решим для \( x_1 \) и \( x_2 \): \[ x_1 = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}, \quad x_2 = \frac{-14}{14} = -1 \]

5. Итоги

Функция \( f(x) = 7x^2 + 4x - 3 \) имеет:

• Вершину в точке \( \left(-\frac{2}{7}, -\frac{25}{7}\right) \),
• Два корня: \( x_1 = \frac{3}{7} \) и \( x_2 = -1 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!