В детском саду на утреннике дети встали в хоровод в случайном порядке. Какова вероятность того, что двойняшки Лена и Таня окажутся рядом, если в хороводе 11 детей?

Чтобы решить задачу о вероятности того, что двойняшки Лена и Таня окажутся рядом в хороводе из 11 детей, можно использовать метод комбинаторики.

1. Общее количество способов расположить всех 11 детей. Так как дети могут стоять в кругу, единицы на место повлияют на количество размещений. Мы можем зафиксировать одного ребенка (например, одного из двойняшек) и расставить остальных 10 детей вокруг него. Это можно сделать \(10!\) способами.

2. Считаем случаи, когда Лена и Таня стоят рядом. Рассмотрим Лену и Таню как один блок. Таким образом, мы теперь имеем "блок" из двух детей (Лена и Таня), а также 9 других детей. То есть у нас есть 10 "объектов" (блок и 9 детей), которые можно расставить в кругу. Зафиксировав один блок (например, блок из Лены и Тани), у нас остается 9 объектов для размещения, что можно сделать \(9!\) способами. Внутри блока Лены и Тани они могут расположиться двумя способами (Лена может стоять слева от Тани или справа).

Итак, общее количество способов расположить всех детей так, чтобы Лена и Таня были рядом: \[ 9! \times 2. \]

3. Находим вероятность. Вероятность того, что Лена и Таня окажутся рядом, вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}. \]

Таким образом, вероятность того, что двойняшки Лена и Таня окажутся рядом в хороводе, равна \(\frac{1}{5}\).