log2(4x+1)<log2(2x+5) log1/3(3x+5)> log1/3 (x2+1) log0,5(3x-4)<log0,5(x- 2) log3(x2 -3x-4)<log3(-x2+6x- 11) log0,3(x^2 -3x+ 2)> log0,3(6-x^2+4x) регистрация логарифмы с графиками

Давайте разберем ваши неравенства с логарифмами по порядку.

1. log2(4x+1)<log2(2x+5)

Поскольку основание логарифма 2 больше 1, неравенство сохраняет знак:

4x + 1 < 2x + 5

Решим это неравенство:

4x - 2x < 5 - 1
2x < 4
x < 2

Таким образом, решение этого неравенства: x < 2, но учитываем, что 4x + 1 > 0 и 2x + 5 > 0. Проверим:

• 4x + 1 > 0 → x > -1/4
• 2x + 5 > 0 → x > -5/2

Объединяя все условия, получаем конечное решение: -1/4 < x < 2.

2. log1/3(3x+5)> log1/3(x^2+1)

Учитывая, что основание логарифма 1/3 меньше 1, знак неравенства изменяется:

3x + 5 < x^2 + 1

Перепишем это неравенство:

0 < x^2 - 3x - 4
x^2 - 3x - 4 > 0

Решим квадратное неравенство через дискриминант:

D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25
x1 = (3 + 5) / 2 = 4
x2 = (3 - 5) / 2 = -1

Таким образом, у нас есть точки x = 4 и x = -1. Проверим знаки:

• При x < -1: положительное
• При -1 < x < 4: отрицательное
• При x > 4: положительное

Итак, решение: x < -1 или x > 4.

3. log0,5(3x-4)<log0,5(x-2)

Основание логарифма меньше 1, значит меняем знак:

3x - 4 > x - 2

Решим:

2x > 2
x > 1

Проверим условия:

• 3x - 4 > 0 → x > 4/3
• x - 2 > 0 → x > 2

Объединяя все условия, получаем: x > 2.

4. log3(x^2 - 3x - 4)<log3(-x^2 + 6x - 11)

Так как основание 3 больше 1, неравенство сохраняет знак.

x^2 - 3x - 4 < -x^2 + 6x - 11

Переносим все в одну часть:

2x^2 - 9x + 7 < 0

Решим через дискриминант:

D = (-9)^2 - 427 = 81 - 56 = 25
x1 = (9 + 5)/4 = 3.5
x2 = (9 - 5)/4 = 1

Знак определяем:

• При x < 1: положительное
• При 1 < x < 3.5: отрицательное
• При x > 3.5: положительное

Решение: 1 < x < 3.5.

5. log0,3(x^2 - 3x + 2)> log0,3(6 - x^2 + 4x)

Основание меньше 1, меняем знак:

x^2 - 3x + 2 < 6 - x^2 + 4x

Соберем всё в одну сторону:

2x^2 - 7x + 4 < 0

Найдём дискриминант:

D = (-7)^2 - 424 = 49 - 32 = 17
x1 = (7 + √17)/4
x2 = (7 - √17)/4

Определим знак:

• При x < x2: положительное
• При x2 < x < x1: отрицательное
• При x > x1: положительное

Таким образом, решение: (7 - √17)/4 < x < (7 + √17)/4.

Надеюсь, это поможет вам разобраться с неравенствами логарифмов! Если нужно больше разъяснений или помощь с графиками логарифмов, дайте знать!