B1. Решите уравнение: 2 Cos2x - Cosx - 3 = 0
Давайте разберём уравнение: \(2 \cos^2 x - \cos x - 3 = 0\).
Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Для упрощения введём новую переменную \( y = \cos x \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ 2y^2 - y - 3 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \).
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25. \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4}. \]
Это даёт два корня:
- \( y_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) (не подходит, так как значение косинуса не может превышать 1)
- \( y_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) (подходит)
Теперь, поскольку \( \cos x = -1 \), найдём \( x \):
Угол \( x \), когда \( \cos x = -1 \) равен:
\[ x = \pi + 2k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}. \]
Таким образом, общее решение уравнения:
\[ x = \pi + 2k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или если что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
