(9x²-4) (16-x²) (2x²+3) >0

Чтобы решить неравенство \((9x²-4)(16-x²)(2x²+3) > 0\), давайте рассмотрим каждый фактор отдельно.

1. Рассмотрим \(9x² - 4\): Это выражение можно разложить: \[ 9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2) \] Нули этого выражения: \[ 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}, \quad 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \]

2. Рассмотрим \(16 - x²\): Это также можно разложить: \[ 16 - x² = (4 - x)(4 + x) \] Нули: \[ 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4, \quad 4 + x = 0 \Rightarrow x = -4 \]

3. Рассмотрим \(2x² + 3\): Это выражение всегда положительно, так как \(2x²\) не может быть отрицательным, а \(3 > 0\).

Теперь у нас есть точки, где каждый из множителей равен нулю:

• \(x = -4\)
• \(x = -\frac{2}{3}\)
• \(x = \frac{2}{3}\)
• \(x = 4\)

Теперь мы можем построить числовую прямую и определить интервалы:

• \((-∞, -4)\)
• \((-4, -\frac{2}{3})\)
• \(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\)
• \((\frac{2}{3}, 4)\)
• \((4, +∞)\)

Теперь проверим знак произведения на каждом интервале:

1. Интервал \((-∞, -4)\): Все множители отрицательные => произведение положительное.
2. Интервал \((-4, -\frac{2}{3})\): \( (4 - x)\) положительно, остальные отрицательные => произведение отрицательное.
3. Интервал \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\): \( (3x - 2)\) отрицательно, остальные положительные => произведение отрицательное.
4. Интервал \((\frac{2}{3}, 4)\): \( (3x - 2)\) положительно, остальные положительные => произведение положительное.
5. Интервал \((4, +∞)\): Все множители положительные => произведение положительное.

Теперь, нам нужно определить, где произведение больше нуля:

• Интервалы, где продукция положительна: \((-∞, -4)\), \((\frac{2}{3}, 4)\), \((4, +∞)\).

С учетом того, что в неравенстве стоит больше нуля (не строго), конечные точки \(-4\) и \(4\) не включаются в ответ, а точки перехода \(-\frac{2}{3}\) и \(\frac{2}{3}\) тоже. Таким образом, окончательное решение:

\[ x \in (-∞, -4) \cup (\frac{2}{3}, 4) \cup (4, +∞) \]

Таким образом, это объединение трех интервалов является решением неравенства.