(5x+7) (8-x) >0
Чтобы решить неравенство \((5x + 7)(8 - x) > 0\), давайте сначала найдём точки, в которых левая часть равна нулю. Это произойдёт, когда каждый из множителей равен нулю.
Найдём корни:
\(5x + 7 = 0\) \[ 5x = -7 \implies x = -\frac{7}{5} \]
\(8 - x = 0\) \[ x = 8 \]
Таким образом, у нас есть два критических значения: \(x = -\frac{7}{5}\) и \(x = 8\).
Теперь определим интервалы, которые мы будем тестировать, основываясь на этих корнях. У нас есть три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{7}{5}) \)
- \( (-\frac{7}{5}, 8) \)
- \( (8, +\infty) \)
Мы проверим знак произведения \((5x + 7)(8 - x)\) в каждом из этих интервалов.
Для интервала \( (-\infty, -\frac{7}{5}) \), например, подставим \(x = -2\): \[ (5(-2) + 7)(8 - (-2)) = (-10 + 7)(10) = (-3)(10) < 0 \]
Для интервала \( (-\frac{7}{5}, 8) \), например, подставим \(x = 0\): \[ (5(0) + 7)(8 - 0) = (7)(8) > 0 \]
Для интервала \( (8, +\infty) \), например, подставим \(x = 9\): \[ (5(9) + 7)(8 - 9) = (45 + 7)(-1) = (52)(-1) < 0 \]
Теперь summarize the results:
- В интервале \( (-\infty, -\frac{7}{5}) \) знак отрицательный.
- В интервале \( (-\frac{7}{5}, 8) \) знак положительный.
- В интервале \( (8, +\infty) \) знак отрицательный.
Поскольку мы ищем те значения, при которых произведение больше нуля, решение нашего неравенства: \[ -\frac{7}{5} < x < 8 \]
Таким образом, конечный ответ: \[ \boxed{(-\frac{7}{5}, 8)} \]
