(9-x²) (6x+30) <0
Чтобы решить неравенство \( (9 - x^2)(6x + 30) < 0 \), начнём с поиска нулевых точек каждого множителя.
Найдем, когда \( 9 - x^2 = 0 \): \[ 9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3 \]
Найдем, когда \( 6x + 30 = 0 \): \[ 6x + 30 = 0 \implies 6x = -30 \implies x = -5 \]
Теперь у нас есть три критических точки: \( x = -5 \), \( x = -3 \) и \( x = 3 \). Это делит числовую прямую на несколько интервалов:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, -3) \)
- \( (-3, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Теперь протестируем знаки на каждом из этих интервалов.
Интервал \( (-\infty, -5) \): Выберем, например, \( x = -6 \): \[ (9 - (-6)^2)(6(-6) + 30) = (9 - 36)(-36 + 30) = (-27)(-6) > 0 \]
Интервал \( (-5, -3) \): Выберем \( x = -4 \): \[ (9 - (-4)^2)(6(-4) + 30) = (9 - 16)(-24 + 30) = (-7)(6) < 0 \]
Интервал \( (-3, 3) \): Выберем \( x = 0 \): \[ (9 - 0^2)(6(0) + 30) = (9)(30) > 0 \]
Интервал \( (3, +\infty) \): Выберем \( x = 4 \): \[ (9 - 4^2)(6(4) + 30) = (9 - 16)(24 + 30) = (-7)(54) < 0 \]
Теперь подводим итоги:
- На интервале \( (-\infty, -5) \) выражение положительное.
- На интервале \( (-5, -3) \) выражение отрицательное.
- На интервале \( (-3, 3) \) выражение положительное.
- На интервале \( (3, +\infty) \) выражение отрицательное.
Итак, неравенство \( (9 - x^2)(6x + 30) < 0 \) выполняется на интервалах \( (-5, -3) \) и \( (3, +\infty) \).
Финальный ответ: \( (-5, -3) \cup (3, +\infty) \).
