Две сестры решили прогуляться до озера, которое находится в 5,6 км от их дома. Начав путь вместе, одна из сестер пошла со скоростью 5,3 км/ч, вторая шла со скоростью 5,9 км/ч. Вторая сестра первой дошла до озера, развернулась и отправилась обратно с такой же скоростью. На каком расстоянии от их дома сестры встретились? В ответ укажите значение расстояния, на котором встретились сестры.

Для решения данной задачи начнем с определения времени, которое каждая из сестер затратит на путь до озера.

1. Время до озера для первой сестры (скорость 5,3 км/ч): \[ t_1 = \frac{5,6 \text{ км}}{5,3 \text{ км/ч}} \approx 1,058 \text{ ч} = 1 \text{ ч} 3 \text{ мин} \]

2. Время до озера для второй сестры (скорость 5,9 км/ч): \[ t_2 = \frac{5,6 \text{ км}}{5,9 \text{ км/ч}} \approx 0,949 \text{ ч} \approx 0 \text{ ч} 57 \text{ мин} \]

Таким образом, вторая сестра достигает озера первой, и тратит на это меньше времени (примерно 57 минут).

3. Время, которое вторая сестра тратит на возвращение. Она начала возвращаться обратно, когда первая сестра ещё шла к озеру. Когда вторая сестра пришла к озеру, первая сестра продолжала в пути, и с этого момента вторая сестра начала движение обратно.

Время, за которое вторая сестра дойдет до озера и вернется на некоторую дистанцию \(x\) от озера: \[ t_{return} = \frac{x}{5,9 \text{ км/ч}} \]

4. Время, прошедшее с начала пути первой сестры будет равно времени, которое она шла до озера (1,058 ч) плюс время, которое вторая сестра потратила на возвращение (\(t_{return}\)): \[ t_{total\_first\_sister} = 1,058 \text{ ч} + t_{return} \]

Наша цель - найти расстояние, на котором сестры встретятся. Это произойдет, когда пройденное расстояние первой сестры будет равно пройденному расстоянию второй сестры (которая уже идет назад).

5. Скорость первой сестры: \[ \text{Расстояние первой сестры} = 5,3 \text{ км/ч} \cdot t_{total\_first\_sister} \]

6. Поскольку обе сестры встречаются на одном и том же расстоянии от дома, запишем уравнение для расстояний: \[ 5,3 \cdot t_{total\_first\_sister} + 5,9 \cdot t_{return} = 5,6 \]

Решив это уравнение, можем найти момент времени, когда они встретятся и соответственно расстояние от дома:

1. Подставим \(t_{return} = \frac{x}{5,9}\).
2. Найдем общее время и расстояние.

Промежуточные расчеты приведут к следующему уравнению по времени и скорости:

7. Итоговое уравнение: \[ x = \frac{5,3}{(5,3 + 5,9)} \cdot 5,6 \] \[ x \approx 2,473 \text{ км} \]

8. В итоге, они встретились на расстоянии: \[ \text{Ответ: } 2,473 \text{ км от дома} \]