7(5). Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150…

Давайте направим наше внимание на условие задачи и попробуем решить ее шаг за шагом.

Пусть:

• \( v \) — скорость мальчика относительно эскалатора,
• \( e \) — скорость эскалатора,
• \( t_1 \) — время, за которое мальчик спустился вниз,
• \( t_2 \) — время, за которое он поднялся вверх.

Когда мальчик спускается вниз по движущемуся эскалатору, он насчитал 30 ступенек. За это время он преодолел 30 ступенек и скорость «относительно земли» составит \( v + e \). Тогда:

\[ 30 = (v + e) \cdot t_1 \]

Когда мальчик поднимается вверх, он насчитал 150 ступенек. За это время его скорость относительно земли составляет \( v - e \):

\[ 150 = (v - e) \cdot t_2 \]

Из этих двух уравнений можно выразить \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{30}{v + e} \]

\[ t_2 = \frac{150}{v - e} \]

Поскольку скорость мальчика относительно эскалатора постоянна в обоих случаях, его скорость \( v \) также остается неизменной, и мы можем приравнять времена \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{30}{v + e} = \frac{150}{v - e} \]

Теперь, раскроем это уравнение:

\[ 30(v - e) = 150(v + e) \]

Раскроем скобки:

\[ 30v - 30e = 150v + 150e \]

Переносим все термины, содержащие \( v \) и \( e \), в соответствующие стороны:

\[ 30v - 150v = 30e + 150e \]

Собранные подобные члены дают:

\[ -120v = 180e \]

Отсюда можем выразить отношение:

\[ \frac{v}{e} = \frac{180}{120} = \frac{3}{2} \]

Теперь мы знаем, что скорость мальчика в 1.5 раз больше скорости эскалатора.

Чтобы узнать, сколько ступенек он насчитал бы, спускаясь по неподвижному эскалатору, нужно учесть скорость только мальчика, так как скорость эскалатора здесь не учитывается. Из предыдущего отношения можем записать:

При спуске по неподвижному эскалатору, если скорость эскалатора нулевая, тогда он пробежит все 30 ступенек, выше указанное время высчитывать не нужно, он пройдет все шаги своей собственной скоростью.

Таким образом, можно сказать, что если бы мальчик спускался по неподвижному эскалатору, он бы насчитал 30 ступенек.