В параллели 6-ых классов 90 учеников. Одиннадцать учеников участвовали в прыжках, 15 – в соревнованиях по бегу, 14 – в метании. Шесть учеников участвовали в прыжках и беге, 8 – в беге и метании, 7 – в прыжках и метании. Во всех трех соревнованиях участвовали только три ученика. Сколько учеников приняли участие только в беге?
Для того чтобы решить задачу, воспользуемся формулой включений-исключений и представим данные в виде диаграммы Венна.
Обозначим:
- \( J \) — количество участников прыжков,
- \( B \) — количество участников бега,
- \( M \) — количество участников метания.
Даны следующие данные:
- \( |J| = 11 \) (прыжки)
- \( |B| = 15 \) (бег)
- \( |M| = 14 \) (метание)
- \( |J \cap B| = 6 \) (прыжки и бег)
- \( |B \cap M| = 8 \) (бег и метание)
- \( |M \cap J| = 7 \) (метание и прыжки)
- \( |J \cap B \cap M| = 3 \) (все три соревнования)
Теперь мы можем рассчитать количество участников только в каждом виде соревнований.
Количество участников только в прыжках: \[ |J| - (|J \cap B| + |J \cap M| - |J \cap B \cap M|) = 11 - (6 + 7 - 3) = 11 - 10 = 1 \]
Количество участников только в беге: \[ |B| - (|J \cap B| + |B \cap M| - |J \cap B \cap M|) = 15 - (6 + 8 - 3) = 15 - 11 = 4 \]
Количество участников только в метании: \[ |M| - (|M \cap J| + |B \cap M| - |J \cap B \cap M|) = 14 - (7 + 8 - 3) = 14 - 12 = 2 \]
Теперь у нас есть данные по участникам:
- Только в прыжках: 1
- Только в беге: 4
- Только в метании: 2
- В прыжках и беге: 3 (из общего числа 6, т.к. 3 из них участники всех трех соревнований)
- В беге и метании: 5 (из общего числа 8, т.к. 3 из них участники всех трех соревнований)
- В метании и прыжках: 4 (из общего числа 7, т.к. 3 из них участники всех трех соревнований)
Проверим общее количество участников: \[ 1 + 4 + 2 + 3 + 5 + 4 + 3 = 22 \] Однако, у нас всего 90 учеников в классе, так что оставшиеся 68 учеников не участвуют в соревнованиях.
Таким образом, количество учеников, принявших участие только в беге: 4 ученика.
