Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз вероятность события <<выпадет ровно 4 орла>> больше вероятности события<<выпадет ровно 2 орла>>?
Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу биномиального распределения, которая помогает вычислить вероятность получения определённого количества успехов (в нашем случае — орлов) в серии независимых испытаний.
Формула для вычисления вероятности получения \( k \) успехов (орлов) при \( n \) испытаниях (бросках монеты) выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который определяется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, выпадение орла, то есть \( p = 0.5 \)),
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 8),
- \( k \) — количество успехов (орлов).
- Вычислим вероятность получить ровно 4 орла (\( k = 4 \)):
\[ P(X = 4) = C(8, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{8-4} = C(8, 4) \cdot (0.5)^8 \]
Выразим биномиальный коэффициент:
\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!4!} = 70 \]
Таким образом, вероятность:
\[ P(X = 4) = 70 \cdot (0.5)^8 = 70 \cdot \frac{1}{256} = \frac{70}{256} \]
- Теперь вычислим вероятность получить ровно 2 орла (\( k = 2 \)):
\[ P(X = 2) = C(8, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{8-2} = C(8, 2) \cdot (0.5)^8 \]
Считаем биномиальный коэффициент:
\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!6!} = 28 \]
Таким образом, вероятность:
\[ P(X = 2) = 28 \cdot (0.5)^8 = 28 \cdot \frac{1}{256} = \frac{28}{256} \]
- Теперь найдем, во сколько раз вероятность выпадения ровно 4 орлов больше вероятности выпадения ровно 2 орлов:
\[ \frac{P(X = 4)}{P(X = 2)} = \frac{\frac{70}{256}}{\frac{28}{256}} = \frac{70}{28} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
Итак, вероятность события <<выпадет ровно 4 орла>> в 2.5 раза больше вероятности события <<выпадет ровно 2 орла>>.
