Решите, составив математическую модель, следующую задачу. Пароход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите…

Для решения данной задачи удобно использовать математическую модель, основанную на уравнении движения. Обозначим собственную скорость парохода как \( v \) км/ч, а скорость течения реки как \( c = 6,5 \) км/ч.

Когда пароход движется против течения, его эффективная скорость будет уменьшаться на скорость течения:

\[ v_{против} = v - c = v - 6,5 \]

Когда пароход движется по течению, его скорость будет увеличиваться на скорость течения:

\[ v_{по} = v + c = v + 6,5 \]

Теперь, согласно условию задачи, пароход прошёл 4 км против течения и 33 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Мы можем записать время в пути как сумму времени, затраченного на каждый отрезок пути.

Время, затраченное на движение против течения:

\[ t_{против} = \frac{4}{v - 6,5} \]

Время, затраченное на движение по течению:

\[ t_{по} = \frac{33}{v + 6,5} \]

Согласно условию, общее время составляет 1 час:

\[ t_{против} + t_{по} = 1 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{4}{v - 6,5} + \frac{33}{v + 6,5} = 1 \]

Теперь умножим все уравнение на \((v - 6,5)(v + 6,5)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 4(v + 6,5) + 33(v - 6,5) = (v - 6,5)(v + 6,5) \]

Раскроем скобки:

\[ 4v + 26 + 33v - 214,5 = v^2 - 42,25 \]

Соберем все члены в одном уравнении:

\[ 4v + 33v + 26 - 214,5 + 42,25 - v^2 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 37v - v^2 - 146,25 = 0 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ v^2 - 37v + 146,25 = 0 \]

Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней:

\[ D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146,25 \] \[ D = 1369 - 585 = 784 \]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 \pm \sqrt{784}}{2} \] \[ \sqrt{784} = 28 \Rightarrow v = \frac{37 \pm 28}{2} \]

Таким образом получаем два значения для скорости:

1. \( v_1 = \frac{65}{2} = 32,5 \) км/ч
2. \( v_2 = \frac{9}{2} = 4,5 \) км/ч

Поскольку собственная скорость парохода не может быть меньше скорости течения, выбираем только положительный и подходящий корень:

Итак, собственная скорость парохода составляет 32,5 км/ч.