Прямоугольник с диагональю 24 вращают вокруг одной из сторон, другая сторона составляет с этой диагональю угол 60°. Найдите площадь основания полученного тела вращения, деленную на π.

Для решения задачи начнём с анализа прямоугольника. У нас есть прямоугольник с диагональю 24 и одной из сторон, образующей угол 60° с диагональю.

1. Назовём стороны прямоугольника \(a\) и \(b\), где \(a\) — сторона, которая образует угол с диагональю, а \(b\) — другая сторона. Мы знаем, что: \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 24. \]

2. Также, когда сторона \(a\) образует угол 60° с диагональю, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Мы знаем, что: \[ \cos(60°) = \frac{a}{24} \Rightarrow a = 24 \cdot \cos(60°) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12. \] Теперь найдём сторону \(b\): \[ \sqrt{12^2 + b^2} = 24 \Rightarrow 144 + b^2 = 576 \Rightarrow b^2 = 432 \Rightarrow b = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}. \]

3. Теперь у нас есть стороны прямоугольника: \(a = 12\) и \(b = 12\sqrt{3}\).

4. Когда мы вращаем прямоугольник вокруг стороны \(a\) (12), образуется цилиндр с высотой \(b = 12\sqrt{3}\) и радиусом \(r = a = 12\).

5. Площадь основания полученного тела вращения (площадь основания цилиндра) равна: \[ S = \pi r^2 = \pi (12^2) = \pi \cdot 144. \]

6. Чтобы найти площадь основания, делённую на \(\pi\), мы делим полученное значение: \[ \frac{S}{\pi} = 144. \]

Таким образом, площадь основания полученного тела вращения, деленная на \(\pi\), равна \(144\).