Два однородных кубика привели в тепловой контакт друг с другом. Первый кубик изготовлен из меди, длина его ребра 3 см, а начальная температура t_{1} = 2 deg * C Второй кубик изготовлен из алюминия, длина его ребра 4 см, а начальная температура t_{2} = 74 deg * C Пренебрегая теплообменом кубиков с окружающей средой, найдите температуру кубиков после установления теплового равновесия

Question 1

Задача Задача №2552491

А

Аноним

20 декабря 2024 14:21 · публичный вопрос

А

Аноним 20 декабря 2024 14:21

Два однородных кубика привели в тепловой контакт друг с другом. Первый кубик изготовлен из меди, длина его ребра 3 см, а начальная температура t_{1} = 2 deg * C Второй кубик изготовлен из алюминия, длина его ребра 4 см, а начальная температура t_{2} = 74 deg * C Пренебрегая теплообменом кубиков с окружающей средой, найдите температуру кубиков после установления теплового равновесия

Answer

Чтобы найти температуру кубиков после установления теплового равновесия, воспользуемся принципом сохранения энергии. При тепловом равновесии количество теплоты, переданное от более горячего тела к более холодному, будет равно количеству теплоты, полученному более холодным телом.

Обозначим:

\( m_1 \) и \( m_2 \) - массы медного и алюминиевого кубиков соответственно,
\( c_1 \) и \( c_2 \) - удельные теплоемкости меди и алюминия (для меди \( c_1 \approx 385 \, \text{Дж/(кг*°C)} \), для алюминия \( c_2 \approx 897 \, \text{Дж/(кг*°C)} \)),
\( t_1 = 2 \, °C \) - начальная температура медного кубика,
\( t_2 = 74 \, °C \) - начальная температура алюминиевого кубика,
\( T_f \) - конечная температура кубиков после установления теплового равновесия.

Сначала найдем массу каждого кубика. Масса кубика рассчитывается по формуле:

\[ m = \rho \cdot V \]

где \( V \) - объем кубика, равный \( a^3 \), а \( \rho \) - плотность материала (для меди \(\rho_{\text{Cu}} \approx 8960 \, \text{кг/м}^3\), для алюминия \(\rho_{\text{Al}} \approx 2700 \, \text{кг/м}^3\)).

Объемы кубиков:

Объем медного кубика \( V_1 = (0.03 \, \text{м})^3 = 27 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \),
Объем алюминиевого кубика \( V_2 = (0.04 \, \text{м})^3 = 64 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \).

Теперь найдем массы кубиков:

Масса медного кубика: \[ m_1 = \rho_{\text{Cu}} \cdot V_1 = 8960 \, \text{кг/м}^3 \cdot 27 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \approx 0.242 \, \text{кг} \]
Масса алюминиевого кубика: \[ m_2 = \rho_{\text{Al}} \cdot V_2 = 2700 \, \text{кг/м}^3 \cdot 64 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \approx 0.173 \, \text{кг} \]

Теперь запишем уравнение теплового равновесия:

\[ m_1 \cdot c_1 (T_f - t_1) + m_2 \cdot c_2 (T_f - t_2) = 0 \]

Подставляем известные значения:

\[ 0.242 \cdot 385 \cdot (T_f - 2) + 0.173 \cdot 897 \cdot (T_f - 74) = 0 \]

Упростим это уравнение:

\[ 93.07 (T_f - 2) + 155.721 (T_f - 74) = 0 \]

Перепишем:

\[ 93.07 T_f - 186.14 + 155.721 T_f - 11523.034 = 0 \]

Соберем все \( T_f \):

\[ (93.07 + 155.721) T_f = 11709.174 \]

Решим уравнение для \( T_f \):

\[ T_f = \frac{11709.174}{248.791} \approx 47.01 \, °C \]

Таким образом, температура кубиков после установления теплового равновесия составит примерно \( 47.01 \, °C \).

Question 2

Два однородных кубика привели в тепловой контакт друг с другом. Первый кубик изготовлен из меди, длина его ребра 3 см, а начальная температура t_{1} = 2 deg * C Второй кубик изготовлен из алюминия, длина его ребра 4 см, а начальная температура t_{2} = 74 deg * C Пренебрегая теплообменом кубиков с окружающей средой, найдите температуру кубиков после установления теплового равновесия

Answer

Чтобы найти температуру кубиков после установления теплового равновесия, воспользуемся принципом сохранения энергии. При тепловом равновесии количество теплоты, переданное от более горячего тела к более холодному, будет равно количеству теплоты, полученному более холодным телом. Обозначим: - \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы медного и алюминиевого кубиков соответственно, - \( c_1 \) и \( c_2 \) - удельные теплоемкости меди и алюминия (для меди \( c_1 \approx 385 \, \text{Дж/(кг*°C)} \), для алюминия \( c_2 \approx 897 \, \text{Дж/(кг*°C)} \)), - \( t_1 = 2 \, °C \) - начальная температура медного кубика, - \( t_2 = 74 \, °C \) - начальная температура алюминиевого кубика, - \( T_f \) - конечная температура кубиков после установления теплового равновесия. Сначала найдем массу каждого кубика. Масса кубика рассчитывается по формуле: \[ m = \rho \cdot V \] где \( V \) - объем кубика, равный \( a^3 \), а \( \rho \) - плотность материала (для меди \(\rho_{\text{Cu}} \approx 8960 \, \text{кг/м}^3\), для алюминия \(\rho_{\text{Al}} \approx 2700 \, \text{кг/м}^3\)). Объемы кубиков: - Объем медного кубика \( V_1 = (0.03 \, \text{м})^3 = 27 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \), - Объем алюминиевого кубика \( V_2 = (0.04 \, \text{м})^3 = 64 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \). Теперь найдем массы кубиков: - Масса медного кубика: \[ m_1 = \rho_{\text{Cu}} \cdot V_1 = 8960 \, \text{кг/м}^3 \cdot 27 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \approx 0.242 \, \text{кг} \] - Масса алюминиевого кубика: \[ m_2 = \rho_{\text{Al}} \cdot V_2 = 2700 \, \text{кг/м}^3 \cdot 64 \times 10^{-6} \, \text{м}^3 \approx 0.173 \, \text{кг} \] Теперь запишем уравнение теплового равновесия: \[ m_1 \cdot c_1 (T_f - t_1) + m_2 \cdot c_2 (T_f - t_2) = 0 \] Подставляем известные значения: \[ 0.242 \cdot 385 \cdot (T_f - 2) + 0.173 \cdot 897 \cdot (T_f - 74) = 0 \] Упростим это уравнение: \[ 93.07 (T_f - 2) + 155.721 (T_f - 74) = 0 \] Перепишем: \[ 93.07 T_f - 186.14 + 155.721 T_f - 11523.034 = 0 \] Соберем все \( T_f \): \[ (93.07 + 155.721) T_f = 11709.174 \] Решим уравнение для \( T_f \): \[ T_f = \frac{11709.174}{248.791} \approx 47.01 \, °C \] Таким образом, температура кубиков после установления теплового равновесия составит примерно \( 47.01 \, °C \).