Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р – 0,6. Найдите вероятность того, что стрелку…

Окей, давайте разберем каждую из задач по порядку.

Задача 1: Вероятность попадания стрелка в мишень

Дано: Вероятность попадания \( p = 0.6 \), вероятность промаха \( q = 1 - p = 0.4 \).

a) Найдите вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток.

Чтобы стрелок попал в мишень на пятой попытке, он должен был промахнуться 4 раза, а потом попасть в пятой попытке. Возможное событие можно выразить формулой:

\[ P(X = 5) = q^4 \cdot p = (0.4)^4 \cdot (0.6) \]

Теперь вычислим:

\[ P(X = 5) = 0.4^4 \cdot 0.6 = 0.0256 \cdot 0.6 = 0.01536 \]

Ответ: Вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток, равна 0.01536.

б) Найдите вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток.

Это включает три случая: 2 попытки, 3 попытки и 4 попытки.

• 2 попытки: \[ P(X = 2) = q \cdot p = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24 \]

• 3 попытки: \[ P(X = 3) = q^2 \cdot p = (0.4)^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096 \]

• 4 попытки: \[ P(X = 4) = q^3 \cdot p = (0.4)^3 \cdot 0.6 = 0.064 \cdot 0.6 = 0.0384 \]

Теперь суммируем: \[ P(2 \leq X \leq 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0.24 + 0.096 + 0.0384 = 0.3744 \]

Ответ: Вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток, равна 0.3744.

---

Задача 2: Вероятность успеха при отправке СМС

Дано: Вероятность успеха \( p = 0.3 \), вероятность неудачи \( q = 1 - p = 0.7 \).

a) Найдите вероятность того, что СМС будет отправлено со второй попытки.

Для этого нужно, чтобы на первой попытке была неудача, а на второй — успех: \[ P(X = 2) = q \cdot p = 0.7 \cdot 0.3 = 0.21 \]

Ответ: Вероятность того, что СМС будет отправлено со второй попытки, равна 0.21.

б) Найдите вероятность того, что СМС будет отправлено не позже, чем при шестой попытке.

Это значит, что успех может произойти на попытках с 1 по 6. Вычисляем для каждой из попыток (1, 2, 3, 4, 5, 6):

\[ P(X \leq 6) = 1 - P(X > 6) = 1 - q^6 = 1 - (0.7)^6 = 1 - 0.117649 = 0.882351 \]

Ответ: Вероятность того, что СМС будет отправлено не позже, чем при шестой попытке, равна 0.882351.

---

Задача 3: Вероятность поломки телефона

Дано: Вероятность поломки \( p = 0.2 \), вероятность, что не поломается \( q = 0.8 \).

a) Найдите вероятность того, что телефон выйдет из строя на четвертый год службы.

Для этого телефон должен проработать первые три года, а на четвертый год сломаться: \[ P(X = 4) = q^3 \cdot p = (0.8)^3 \cdot 0.2 = 0.512 \cdot 0.2 = 0.1024 \]

Ответ: Вероятность того, что телефон выйдет из строя на четвертый год службы, равна 0.1024.

б) Найдите вероятность того, что телефон выйдет из строя не позже, чем через три года после покупки.

Это значит, что поломка может произойти на 1-м, 2-м или 3-м году: \[ P(X \leq 3) = 1 - P(X > 3) = 1 - q^3 = 1 - (0.8)^3 = 1 - 0.512 = 0.488 \]

Ответ: Вероятность того, что телефон выйдет из строя не позже, чем через три года, равна 0.488.

---

Задача 4: Вероятность поломки планшета

Дано: Вероятность поломки \( p = 0.1 \), вероятность, что не поломается \( q = 0.9 \).

a) Найдите вероятность того, что планшет выйдет из строя на третий год службы.

Формула аналогична предыдущим задачам: \[ P(X = 3) = q^2 \cdot p = (0.9)^2 \cdot 0.1 = 0.81 \cdot 0.1 = 0.081 \]

Ответ: Вероятность того, что планшет выйдет из строя на третий год службы, равна 0.081.

б) Найдите вероятность того, что планшет прослужит больше 3, но не больше 5 лет.

Это можно выразить как: \[ P(3 < X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) \]

Для 4 попыток: \[ P(X = 4) = q^3 \cdot p = (0.9)^3 \cdot 0.1 = 0.729 \cdot 0.1 = 0.0729 \]

Для 5 попыток: \[ P(X = 5) = q^4 \cdot p = (0.9)^4 \cdot 0.1 = 0.6561 \cdot 0.1 = 0.06561 \]

Суммируем: \[ P(3 < X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.0729 + 0.06561 = 0.13851 \]

Ответ: Вероятность того, что планшет прослужит больше 3, но не больше 5 лет, равна 0.13851.

Вот и все! Если возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать!