Упростите выражение 2m+1/3m-2 - 3m²+m-2/9m²-12m+4 дроби

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом. У нас есть две дроби:

\[ \frac{2m + 1}{3m - 2} - \frac{3m^2 + m - 2}{9m^2 - 12m + 4} \]

Первое, что мы заметим, это то, что можно упростить вторую дробь. Начнем с разложения знаменателя:

\[ 9m^2 - 12m + 4 \]

Это квадратный трёхчлен, который можно записать в виде:

\[ (3m - 2)^2 \]

Теперь мы можем переписать вторую дробь:

\[ \frac{3m^2 + m - 2}{(3m - 2)^2} \]

Теперь нам нужно упростить числитель второй дроби. Найдем корни уравнения \(3m^2 + m - 2 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \]

Корни считаем по формуле \(m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\[ m_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad m_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1 \]

Таким образом, можно разложить числитель \(3m^2 + m - 2\):

\[ 3m^2 + m - 2 = 3(m - \frac{2}{3})(m + 1) \]

Теперь мы можем выразить вторую дробь:

\[ \frac{3(m - \frac{2}{3})(m + 1)}{(3m - 2)^2} \]

Так как \(3(m - \frac{2}{3}) = (3m - 2)\), мы можем упростить дробь:

\[ \frac{(3m - 2)(m + 1)}{(3m - 2)(3m - 2)} = \frac{m + 1}{3m - 2} \]

Теперь у нас всё в одном виде. Теперь перепишем общее выражение:

\[ \frac{2m + 1}{3m - 2} - \frac{m + 1}{3m - 2} = \frac{(2m + 1) - (m + 1)}{3m - 2} \]

Упрощаем числитель:

\[ (2m + 1) - (m + 1) = 2m + 1 - m - 1 = m \]

Следовательно, у нас получается:

\[ \frac{m}{3m - 2} \]

Таким образом, окончательно мы упростили исходное выражение до:

\[ \frac{m}{3m - 2} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!