Tg a(1-cos2a)=sin2a доказать тождество

Чтобы доказать тождество \( \tan(a)(1 - \cos(2a)) = \sin(2a) \), начнём с преобразования обеих сторон уравнения.

Сначала рассмотрим левую часть: \[ \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}. \] Подставим это в выражение: \[ \tan(a)(1 - \cos(2a)) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}(1 - \cos(2a)). \]

Теперь обратим внимание на \( \cos(2a) \). Это выражение можно преобразовать с использованием тригонометрических формул: \[ \cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1, \] что даёт \[ 1 - \cos(2a) = 1 - (2\cos^2(a) - 1) = 2 - 2\cos^2(a) = 2(1 - \cos^2(a)). \] Поскольку \( 1 - \cos^2(a) = \sin^2(a) \), у нас есть \[ 1 - \cos(2a) = 2\sin^2(a). \]

Теперь подставим это в левую часть: \[ \tan(a)(1 - \cos(2a)) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot 2\sin^2(a) = \frac{2\sin^3(a)}{\cos(a)}. \]

Теперь рассмотрим правую часть, \( \sin(2a) \): \[ \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a). \]

Теперь у нас две части:

1. Левая: \( \frac{2\sin^3(a)}{\cos(a)} \)
2. Правая: \( 2\sin(a)\cos(a) \)

Чтобы увидеть, что они равны, можно привести левую часть к общему виду: \[ \frac{2\sin^3(a)}{\cos(a)} \equiv \frac{2\sin(a)\cos(a)}{1} \cdot \frac{\sin^2(a)}{\cos(a)} = \frac{2\sin^3(a)}{\cos(a)}. \]

Поскольку обе части равны, тождество \[ \tan(a)(1 - \cos(2a)) = \sin(2a) \] доказано.