Билет 16. 1. Прямая и плоскость. Взаимное расположение. Угол между прямой и плоскостью. 2. Задача. Составить уравнение а, проходящей через точку А (2;-1; 4), перпендикулярно прямой, проходящей через точки В (2;-1; 0) и С (-1; 1; 3) Билет 17. 1. Понятие комплексного числа, формы записи. 2. Задача. Записать комплексные числа 2₁ = 1+1 b 2 =√3-18 тригонометрической форме. Изобразить числа на комплексной плоскости.

Билет 16.

1. Прямая и плоскость. Взаимное расположение. Угол между прямой и плоскостью.

   Прямая и плоскость могут располагаться в трех основных взаимосвязях:

   • Прямая может пересекать плоскость.
   • Прямая может быть параллельна плоскости.
   • Прямая может лежать в плоскости.

   Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между вектором, направленным по прямой, и вектором, перпендикулярным плоскости. Этот угол можно найти, используя формулы для вычисления угла между векторами.

2. Задача. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку A (2; -1; 4), перпендикулярно прямой, проходящей через точки B (2; -1; 0) и C (-1; 1; 3).

   Сначала найдем вектор BC:

   \[ \vec{BC} = C - B = (-1 - 2; 1 - (-1); 3 - 0) = (-3; 2; 3) \]

   Этот вектор будет направлен вдоль прямой, проходящей через точки B и C. Поскольку прямая a должна быть перпендикулярна прямой BC, её направляющий вектор будет равен вектору BC, если мы изменим его знак:

   \[ \vec{a} = (3; -2; -3) \]

   Уравнение прямой a можно записать в параметрической форме как:

   \[ x = 2 + 3t, \quad y = -1 - 2t, \quad z = 4 - 3t \]

   где \( t \) — параметр.

Билет 17.

1. Понятие комплексного числа, формы записи.

   Комплексное число — это число вида \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) — вещественные числа, а \( i \) — мнимая единица, для которой выполняется равенство \( i^2 = -1 \). Комплексные числа могут быть представлены в алгебраической (декартовой) форме \( a + bi \) и в тригонометрической форме \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \), где \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) — модуль комплексного числа, и \( \theta = \tan^{-1}(b/a) \) — аргумент.

2. Задача. Записать комплексные числа \( z_1 = 1 + i \) и \( z_2 = \sqrt{3} - i8 \) тригонометрической форме. Изобразить числа на комплексной плоскости.

   Для \( z_1 = 1 + i \):

   • Модуль \( r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
   • Аргумент \( \theta_1 = \tan^{-1}(1/1) = \frac{\pi}{4} \).

   Таким образом, тригонометрическая форма \( z_1 \):

   \[ z_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \]

   Для \( z_2 = \sqrt{3} - i8 \):

   • Модуль \( r_2 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-8)^2} = \sqrt{3 + 64} = \sqrt{67} \).
   • Аргумент \( \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{-8}{\sqrt{3}}\right) \) (находится в четвёртой четверти).

   Таким образом, тригонометрическая форма \( z_2 \):

   \[ z_2 = \sqrt{67} \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \]

   Чтобы изобразить числа на комплексной плоскости, нужно отложить их соответствующие действительные и мнимые части на координатной плоскости, где ось X — действительная часть, а ось Y — мнимая часть.