Найти производную от (1/3)^(-1-x^²) найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2;1]
Чтобы найти производную функции \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1 - x^2} \), сначала упростим выражение. Запишем его в виде экспоненты:
\[ y = 3^{1 + x^2} \]
Теперь применим правило дифференцирования \( y = a^u \), где \( a \) — константа, \( u \) — функция. Производная будет равна:
\[ y' = a^u \cdot \ln(a) \cdot \frac{du}{dx} \]
В нашем случае \( a = 3 \), \( u = 1 + x^2 \), и \( \frac{du}{dx} = 2x \). Таким образом, производная будет равна:
\[ y' = 3^{1 + x^2} \cdot \ln(3) \cdot 2x = 2x \cdot 3^{1 + x^2} \cdot \ln(3) \]
Теперь у нас есть производная функции.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке \([-2; 1]\), нужно найти критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 2x \cdot 3^{1 + x^2} \cdot \ln(3) = 0 \]
Поскольку \( 3^{1 + x^2} \) и \( \ln(3) \) не равны нулю, у нас остается:
\[ 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
Теперь оценим значения функции в критической точке и на границах отрезка:
\( x = -2 \): \[ y(-2) = 3^{1 + (-2)^2} = 3^{1 + 4} = 3^5 = 243 \]
\( x = 0 \): \[ y(0) = 3^{1 + 0^2} = 3^{1} = 3 \]
\( x = 1 \): \[ y(1) = 3^{1 + 1^2} = 3^{1 + 1} = 3^2 = 9 \]
Теперь подытожим значения:
- \( y(-2) = 243 \)
- \( y(0) = 3 \)
- \( y(1) = 9 \)
На отрезке \([-2; 1]\) наибольшее значение функции \( y = 243 \) при \( x = -2 \), а наименьшее значение \( y = 3 \) при \( x = 0 \).
Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 243, а наименьшее — 3.
