Решите неравенство (3 - 4x) (3x + 2) ≤ 0.

Чтобы решить неравенство \((3 - 4x)(3x + 2) \leq 0\), начнем с нахождения корней уравнения \((3 - 4x)(3x + 2) = 0\).

Найдем корни каждого из множителей:

1. \(3 - 4x = 0\)
   \(4x = 3\)
   \(x = \frac{3}{4}\)

2. \(3x + 2 = 0\)
   \(3x = -2\)
   \(x = -\frac{2}{3}\)

Таким образом, корни уравнения: \(x = -\frac{2}{3}\) и \(x = \frac{3}{4}\).

Теперь мы имеем два критических значения: \(x = -\frac{2}{3}\) и \(x = \frac{3}{4}\). Разобьем числовую прямую на три интервала:

1. \((-\infty, -\frac{2}{3})\)
2. \((- \frac{2}{3}, \frac{3}{4})\)
3. \((\frac{3}{4}, +\infty)\)

Теперь проверим знаки произведения \((3 - 4x)(3x + 2)\) в каждом из интервалов:

1. Для интервала \((-\infty, -\frac{2}{3})\), например, возьмем \(x = -1\): \((3 - 4(-1))(3(-1) + 2) = (3 + 4)(-3 + 2) = 7 \cdot (-1) < 0\)

2. Для интервала \((- \frac{2}{3}, \frac{3}{4})\), например, возьмем \(x = 0\): \((3 - 4(0))(3(0) + 2) = 3 \cdot 2 = 6 > 0\)

3. Для интервала \((\frac{3}{4}, +\infty)\), например, возьмем \(x = 1\): \((3 - 4(1))(3(1) + 2) = (3 - 4)(3 + 2) = (-1) \cdot 5 < 0\)

Теперь объединим результаты:

• В интервале \((-\infty, -\frac{2}{3})\) значение отрицательное.
• В интервале \((- \frac{2}{3}, \frac{3}{4})\) значение положительное.
• В интервале \((\frac{3}{4}, +\infty)\) значение отрицательное.

Поскольку неравенство включает знак «равно» (≤), учитываем корни:

• При \(x = -\frac{2}{3}\) и \(x = \frac{3}{4}\) значение равно нулю.

Таким образом, решением неравенства \((3 - 4x)(3x + 2) \leq 0\) будет:

\[ x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{3}{4}, +\infty\right) \]