На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки M и N соответственно. известно что AM:MB=3:4 и AN:NC=3:2 найдите площади треугольника AMN если площади треугольника ABC равна 70

Для решения задачи о нахождении площади треугольника AMN, когда известна площадь треугольника ABC, можно использовать метод относительных площадей.

1. Обозначим площадь треугольника ABC как S_ABC = 70.
2. У нас есть отношение AM:MB = 3:4. Это означает, что отрезок AB делится точкой M в отношении 3 к 4. Таким образом, расстояние AM составляет 3/7 от AB, а MB - 4/7.
3. Аналогично, AN:NC = 3:2. Это значит, что отрезок AC делится точкой N в отношении 3 к 2. Расстояние AN составляет 3/5 от AC, а NC - 2/5.

Теперь мы можем найти долю площади треугольника AMN по сравнению с площадью треугольника ABC.

Площадь треугольника AMN можно найти, используя произведение долей отрезков: \[ S_{AMN} = S_{ABC} \cdot \left(\frac{AM}{AB}\right) \cdot \left(\frac{AN}{AC}\right) \]

Подставим известные значения: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7} \] \[ \frac{AN}{AC} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5} \]

Теперь подставим эти значения в формулу: \[ S_{AMN} = 70 \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} \]

Считаем: \[ S_{AMN} = 70 \cdot \frac{3 \times 3}{7 \times 5} \] \[ = 70 \cdot \frac{9}{35} \] \[ = 70 \cdot \frac{9}{35} = 70 \cdot \frac{9}{35} = 18 \]

Таким образом, площадь треугольника AMN составляет 18.