На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки M и N соответственно. известно что AM:AB=3:7 и AN:AC=3:5 найдите площади треугольника ABC если площади треугольника AMN равна 18

Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся тем, что площади треугольников могут быть связаны через коэффициенты между сторонами и базами этих треугольников.

Дано:

• Площадь треугольника AMN = 18.
• Отношение отрезков AM:AB = 3:7, значит, AM = 3k, а AB = 7k для некоторого коэффициента k.
• Отношение отрезков AN:AC = 3:5, значит, AN = 3m, а AC = 5m для некоторого коэффициента m.

Площадь треугольника AMN можно выразить через площади треугольника ABC следующим образом. Площадь треугольника AMN будет составлять определенную долю площади треугольника ABC, которую мы можем найти через произведение коэффициентов:

Площадь треугольника AMN к площади треугольника ABC равна: \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = \frac{3/7 \cdot 3/5} = \frac{9}{35}. \]

Теперь выразим площадь треугольника ABC через площадь треугольника AMN: \[ S_{ABC} = S_{AMN} \cdot \frac{35}{9}. \]

Подставляем известное значение площади треугольника AMN: \[ S_{ABC} = 18 \cdot \frac{35}{9} = 18 \cdot 3.888... \approx 70. \]

В результате, площадь треугольника ABC составляет приблизительно 70 квадратных единиц.